Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)=(-x-y, 4 x+3 y). Verifique se T é isomorfismo. Se for, determine a inversa T^{-1}(a, b).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(-x-y,\;4x+3y).
As perguntas são:
  • Verificar se T é um isomorfismo (ou seja, se é bijetora / invertível).
  • Se for isomorfismo, determinar explicitamente a inversa T^{-1}(a,b).
Informações relevantes dadas:
  • A regra de T para vetores (x,y) está explícita (dois componentes lineares).
  • O domínio e o contradomínio têm mesma dimensão ( 2), o que permite usar determinante/matriz para decidir invertibilidade.

Passo 2

Representar T por uma matriz na base canônica. Para isso, escrevo T como multiplicação de matriz por vetor coluna. Observando as imagens de (1,0) e (0,1):
T(1,0)=(-1,4),\qquad T(0,1)=(-1,3).
Logo a matriz de T na base padrão é
A=\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix},
e para todo (x,y) vale
T\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}.
Explicação rápida (por que isso é válido): numa transformação linear, as colunas da matriz são justamente as imagens dos vetores da base; por isso colocamos T(1,0) e T(0,1) como colunas de A.]

Passo 3

Calcular o determinante de A. Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} tem-se \det = ad-bc. Aqui:
\det(A)=(-1)\cdot 3 - (-1)\cdot 4 = -3 + 4 = 1.
Interpretação didática: o determinante mede (entre outras interpretações) se a transformação encolhe/estica e se colapsa dimensões. Se \det(A)\neq 0, a matriz é inversível (não colapsa o plano em linha ou ponto).

Passo 4

Concluir sobre isomorfismo: como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é invertível. Consequentemente, a transformação linear T é invertível, isto é, é um isomorfismo entre \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^2.
Breve justificativa teórica: para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, ser injetora, sobrejetora e ter matriz inversível são equivalentes; o determinante não nulo garante invertibilidade.

Passo 5

Determinar T^{-1}\) resolvendo o sistema para \((x,y)\) em função de \((a,b)\). Se \(T(x,y)=(a,b)\), então \[\begin{cases} -x-y = a,\\[4pt] 4x+3y = b. \end{cases}
Resolvo por substituição. Da primeira equação,
x = -a - y.
Substituo na segunda:
4(-a - y) + 3y = b \quad\Rightarrow\quad -4a -4y +3y = b \quad\Rightarrow\quad -4a - y = b.
Isolando y\]: \[y = -4a - b.\] Agora \(x = -a - y = -a -(-4a - b) = -a +4a + b = 3a + b. \] Portanto o par \((x,y) que satisfaz T(x,y)=(a,b) é
(x,y) = (\,3a + b,\;-4a - b\,).)

Passo 6

Verificação rápida usando a fórmula da inversa de uma 2\times2: para A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} tem-se
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a A=\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix} com \det(A)=1, obtemos
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -4 & -1\end{pmatrix}.
Multiplicando A^{-1} por \begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[2pt] b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3a+b\\[4pt]-4a-b\end{pmatrix},
coincidindo com o resultado obtido pela resolução do sistema. Isso confirma que a expressão encontrada está correta.]

Resposta

T é isomorfismo: sim ( \det A=1\neq0).
T^{-1}(a,b)=(3a+b,\,-4a-b)

Exercícios relacionados