Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)=(-x-y, 4 x+3 y). Verifique se T é isomorfismo. Se for, determine a inversa T^{-1}(a, b).
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(-x-y,\;4x+3y).
As perguntas são:
Verificar se T é um isomorfismo (ou seja, se é bijetora / invertível).
Se for isomorfismo, determinar explicitamente a inversa T^{-1}(a,b).
Informações relevantes dadas:
A regra de T para vetores (x,y) está explícita (dois componentes lineares).
O domínio e o contradomínio têm mesma dimensão (2), o que permite usar determinante/matriz para decidir invertibilidade.
Passo 2
Representar T por uma matriz na base canônica. Para isso, escrevo T como multiplicação de matriz por vetor coluna. Observando as imagens de (1,0) e (0,1):
Explicação rápida (por que isso é válido): numa transformação linear, as colunas da matriz são justamente as imagens dos vetores da base; por isso colocamos T(1,0) e T(0,1) como colunas de A.]
Passo 3
Calcular o determinante de A. Para uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} tem-se \det = ad-bc. Aqui:
\det(A)=(-1)\cdot 3 - (-1)\cdot 4 = -3 + 4 = 1.
Interpretação didática: o determinante mede (entre outras interpretações) se a transformação encolhe/estica e se colapsa dimensões. Se \det(A)\neq 0, a matriz é inversível (não colapsa o plano em linha ou ponto).
Passo 4
Concluir sobre isomorfismo: como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é invertível. Consequentemente, a transformação linear T é invertível, isto é, é um isomorfismo entre \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^2.
Breve justificativa teórica: para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, ser injetora, sobrejetora e ter matriz inversível são equivalentes; o determinante não nulo garante invertibilidade.
Passo 5
Determinar T^{-1}\) resolvendo o sistema para \((x,y)\) em função de \((a,b)\). Se \(T(x,y)=(a,b)\), então
\[\begin{cases} -x-y = a,\\[4pt] 4x+3y = b. \end{cases}
Resolvo por substituição. Da primeira equação,
x = -a - y.
Substituo na segunda:
4(-a - y) + 3y = b \quad\Rightarrow\quad -4a -4y +3y = b \quad\Rightarrow\quad -4a - y = b.
Isolando y\]:
\[y = -4a - b.\]
Agora \(x = -a - y = -a -(-4a - b) = -a +4a + b = 3a + b.
\]
Portanto o par \((x,y) que satisfaz T(x,y)=(a,b) é
(x,y) = (\,3a + b,\;-4a - b\,).)
Passo 6
Verificação rápida usando a fórmula da inversa de uma 2\times2: para A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} tem-se