Considere três bases B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B^{\prime}=\left\{\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}\right\} e B^{\prime \prime}=\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}\right\} do \mathbb{R}^{2}. Sabe-se que
Determine M_{B^{\prime} B^{\prime \prime}}, que é a matriz de transição da base B^{\prime} para a base B^{\prime \prime}.
Resolução: Resolução 1. Usando a fórmula
O que se pede: determinar a matriz de transição da base B' para a base B'', isto é M_{B' B''}.]
Passo 2
Vamos entender direitinho o que é uma matriz de transição e por que existe uma fórmula prática para calcular M_{B'B''}.
Definição direta (intuição): a matriz M_{X Y} tem, em cada coluna j, as coordenadas do j-ésimo vetor da base X escritas na base Y. Ou seja, a coluna j de M_{X Y} é o vetor [\vec{x}_{j}]_{Y}.
Consequência útil: para qualquer vetor \vec{x} vale
[\vec{x}]_{Y}=M_{X Y}\,[\vec{x}]_{X}.
Explicando: se eu conheço as coordenadas de \vec{x} na base X, multiplicando por M_{X Y} obtenho as coordenadas de \vec{x} na base Y.
Da propriedade anterior segue a fórmula que usaremos: para mudar diretamente de B' para B'' passando por B (ou seja, compor duas mudanças de base),
logo a matriz que leva coordenadas de B' para B'' é o produto indicado.
Comentário prático: já temos M_{B B''}. Então precisamos calcular M_{B' B}, que tem em suas colunas as coordenadas de \vec{w}_{1} e \vec{w}_{2} na base B. Depois multiplicamos.
Passo 3
Calcular M_{B' B} escrevendo \vec{w}_{1} e \vec{w}_{2} como combinações lineares dos vetores de B.
É mais organizado montar a matriz cujas colunas são as coordenadas de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} (na base padrão) e igualá‑la à matriz cujas colunas são \vec{w}_{1},\vec{w}_{2}. Definindo
Calculemos V^{-1}. Para V=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix} o determinante é
\det(V)=1\cdot 1 - 0\cdot 1 = 1.
A inversa de uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\[4pt]-c&a\end{pmatrix}. Aplicando aqui:
Pequena interpretação: a primeira coluna diz que \vec{w}_{1}=2\vec{v}_{1}-1\vec{v}_{2}, e a segunda que \vec{w}_{2}=3\vec{v}_{1}-2\vec{v}_{2}. Se quiser, pode conferir multiplicando.]
Resolvendo esse sistema para \vec{u}_{1},\vec{u}_{2} em coordenadas padrão dá \vec{u}_{1}=(3,1) e \vec{u}_{2}=(-4,-1). Substituindo essas expressões e resolvendo para os coeficientes que escrevem \vec{w}_{1},\vec{w}_{2} na base \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\} obtém‑se novamente as colunas \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Ou seja, confirma o resultado acima.]