Considere três bases B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B^{\prime}=\left\{\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}\right\} e B^{\prime \prime}=\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}\right\} do \mathbb{R}^{2}. Sabe-se que
\vec{v}_{1}=(1,1), \quad \vec{v}_{2}=(0,1), \quad \vec{w}_{1}=(2,1), \quad \vec{w}_{2}=(3,1)
e que a matriz de transição da base B para a base B^{\prime \prime} é
M_{B B^{\prime \prime}}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right]
Determine M_{B^{\prime} B^{\prime \prime}}, que é a matriz de transição da base B^{\prime} para a base B^{\prime \prime}.
Resolução: Resolução 1. Usando a fórmula
M_{B^{\prime} B^{\prime \prime}}=M_{B B^{\prime \prime}} M_{B^{\prime} B}
Como a matriz M_{B B^{\prime \prime}} foi dada, basta calcular M_{B^{\prime} B}. Precisamos decompor os vetores da base B^{\prime} na base B
\begin{aligned} & \vec{w}_{1}=a_{11} \vec{v}_{1}+a_{21} \vec{v}_{2} \\\ & \vec{w}_{2}=a_{12} \vec{v}_{1}+a_{22} \vec{v}_{2} \end{aligned}
ou
\begin{aligned} & (2,1)=a_{11}(1,1)+a_{21}(0,1) \\\ & (3,1)=a_{12}(1,1)+a_{22}(0,1) \end{aligned}
Estas duas igualdades vetoriais podem ser expressas na igualdade matricial
\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]
a solução desta equação é
M_{B^{\prime} B}=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 2 & 3 \\\\ -1 & -2 \end{array}\right]
Portanto,
M_{B^{\prime} B^{\prime \prime}}=M_{B B^{\prime \prime}} M_{B^{\prime} B}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 2 & 3 \\\\ -1 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]
Resolução 2. Sem usar a fórmula
M_{B^{\prime} B^{\prime \prime}}=M_{B B^{\prime \prime}} M_{B^{\prime} B}
Usando apenas as definições de matriz de transição. Usando a definição da matriz de transição e considerando que
M_{B B^{\prime \prime}}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right]
obtemos
\left\{\begin{array} { l } { \vec { v } _ { 1 } = 3 \vec { u } _ { 1 } + 2 \vec { u } _ { 2 } } \\\ { \vec { v } _ { 2 } = 4 \vec { u } _ { 1 } + 3 \vec { u } _ { 2 } } \end{array} \quad \text { ou } \quad \left\{\begin{array}{l} 3 \vec{u}_{1}+2 \vec{u}_{2}=\vec{v}_{1} \\\\ 4 \vec{u}_{1}+3 \vec{u}_{2}=\vec{v}_{2} \end{array}\right.\right.
Explicitando \vec{u}_{1} e \vec{u}_{2} nas duas equações acima, obtemos
\begin{aligned} & \vec{u}_{1}=3 \vec{v}_{1}-2 \vec{v}_{2}=3(1,1)-2(0,1)=(3,1) \\\ & \vec{u}_{2}=-4 \vec{v}_{1}+3 \vec{v}_{2}=-4(1,1)+3(0,1)=(-4,-1) \end{aligned}
ou, resumindo,
\vec{u}_{1}=(3,1), \quad \vec{u}_{2}=(-4,-1)
A matriz de transição
M_{B^{\prime} B^{\prime \prime}}=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]
é tal que
\left\{\begin{array} { l } { \vec { w } _ { 1 } = a _ { 1 1 } \vec { u } _ { 1 } + a _ { 2 1 } \vec { u } _ { 2 } } \\\ { \vec { w } _ { 2 } = a _ { 1 2 } \vec { u } _ { 1 } + a _ { 2 2 } \vec { u } _ { 2 } } \end{array} \quad \text { ou } \quad \left\{\begin{array}{l} (2,1)=a_{11}(3,1)+a_{21}(-4,-1) \\\ (3,1)=a_{12}(3,1)+a_{22}(-4,-1) \end{array}\right.\right.
Estas duas igualdades vetoriais podem ser escritas numa única igualdade matricial
\left[\begin{array}{ll} 3 & -4 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]
onde a matriz das incógnitas é, exatamente, a matriz desejada M_{B^{\prime} B^{\prime \prime}}. Resolvendo a equação matricial anterior, obtemos
M_{B^{\prime} B^{\prime \prime}}=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá três bases de \mathbb{R}^{2}:
B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\},\qquad B'=\{\vec{w}_{1},\vec{w}_{2}\},\qquad B''=\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\},
com os vetores (no sistema de coordenadas padrão)
\vec{v}_{1}=(1,1),\quad \vec{v}_{2}=(0,1),\quad \vec{w}_{1}=(2,1),\quad \vec{w}_{2}=(3,1).
Também é dada a matriz de transição da base B para a base B'':
M_{B B''}=\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
O que se pede: determinar a matriz de transição da base B' para a base B'', isto é M_{B' B''}.]

Passo 2

Vamos entender direitinho o que é uma matriz de transição e por que existe uma fórmula prática para calcular M_{B'B''}.
  • Definição direta (intuição): a matriz M_{X Y} tem, em cada coluna j, as coordenadas do j-ésimo vetor da base X escritas na base Y. Ou seja, a coluna j de M_{X Y} é o vetor [\vec{x}_{j}]_{Y}.
  • Consequência útil: para qualquer vetor \vec{x} vale
[\vec{x}]_{Y}=M_{X Y}\,[\vec{x}]_{X}.
Explicando: se eu conheço as coordenadas de \vec{x} na base X, multiplicando por M_{X Y} obtenho as coordenadas de \vec{x} na base Y.
  • Da propriedade anterior segue a fórmula que usaremos: para mudar diretamente de B' para B'' passando por B (ou seja, compor duas mudanças de base),
M_{B'B''}=M_{B B''}\,M_{B' B}.
Justificativa rápida: para qualquer \vec{x},
[\vec{x}]_{B''}=M_{B B''}[\vec{x}]_{B} =M_{B B''}\bigl(M_{B' B}[\vec{x}]_{B'}\bigr) =\bigl(M_{B B''}M_{B' B}\bigr)[\vec{x}]_{B'},
logo a matriz que leva coordenadas de B' para B'' é o produto indicado.
Comentário prático: já temos M_{B B''}. Então precisamos calcular M_{B' B}, que tem em suas colunas as coordenadas de \vec{w}_{1} e \vec{w}_{2} na base B. Depois multiplicamos.

Passo 3

Calcular M_{B' B} escrevendo \vec{w}_{1} e \vec{w}_{2} como combinações lineares dos vetores de B.
Procuramos coeficientes a_{ij} tais que
\vec{w}_{1}=a_{11}\vec{v}_{1}+a_{21}\vec{v}_{2},\qquad \vec{w}_{2}=a_{12}\vec{v}_{1}+a_{22}\vec{v}_{2}.
Em coordenadas padrão isso dá as igualdades vetoriais
(2,1)=a_{11}(1,1)+a_{21}(0,1),\qquad (3,1)=a_{12}(1,1)+a_{22}(0,1).
É mais organizado montar a matriz cujas colunas são as coordenadas de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} (na base padrão) e igualá‑la à matriz cujas colunas são \vec{w}_{1},\vec{w}_{2}. Definindo
V=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt]a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\qquad W=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
a igualdade das colunas é V A = W. Logo
A = V^{-1} W.
Calculemos V^{-1}. Para V=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix} o determinante é
\det(V)=1\cdot 1 - 0\cdot 1 = 1.
A inversa de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\[4pt]-c&a\end{pmatrix}. Aplicando aqui:
V^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos:
A=V^{-1}W=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calcule coluna a coluna:
  • primeira coluna: \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\cdot 2 + \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\cdot 1 = \begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • segunda coluna: \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\cdot 3 + \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\cdot 1 = \begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Portanto
M_{B' B}=A=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]-1 & -2\end{pmatrix}.
Pequena interpretação: a primeira coluna diz que \vec{w}_{1}=2\vec{v}_{1}-1\vec{v}_{2}, e a segunda que \vec{w}_{2}=3\vec{v}_{1}-2\vec{v}_{2}. Se quiser, pode conferir multiplicando.]

Passo 4

Agora usamos a fórmula da Passo 2:
M_{B'B''}=M_{B B''}\,M_{B' B}.
Substituindo as matrizes conhecidas:
M_{B B''}=\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix},\qquad M_{B' B}=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]-1 & -2\end{pmatrix}.
Multiplicação de matrizes 2\times2. Calculamos coluna a coluna (ou elemento a elemento):
Primeira coluna de M_{B'B''}:
\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\cdot 2 + 4\cdot(-1)\\[4pt]2\cdot 2 + 3\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6-4\\[4pt]4-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Segunda coluna de M_{B'B''}:
\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\cdot 3 + 4\cdot(-2)\\[4pt]2\cdot 3 + 3\cdot(-2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9-8\\[4pt]6-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Juntando as colunas:
M_{B'B''}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Rápida checagem: pela definição, as colunas de M_{B B''} são as coordenadas de \vec{v}_1,\vec{v}_2 na base B'', ou seja
\vec{v}_{1}=3\vec{u}_{1}+2\vec{u}_{2},\qquad \vec{v}_{2}=4\vec{u}_{1}+3\vec{u}_{2}.
Resolvendo esse sistema para \vec{u}_{1},\vec{u}_{2} em coordenadas padrão dá \vec{u}_{1}=(3,1) e \vec{u}_{2}=(-4,-1). Substituindo essas expressões e resolvendo para os coeficientes que escrevem \vec{w}_{1},\vec{w}_{2} na base \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\} obtém‑se novamente as colunas \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Ou seja, confirma o resultado acima.]

Resposta

M_{B'B''}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}]

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