Considere um tubo rígido, de paredes grossas, cheio de água líquida em equilíbrio com seu vapor a 0,1 \mathrm{Mpa}. Depois de lacrado, o tubo é aquecido de modo que o sistema passa pelo seu ponto crítico. Que fração da massa de água estava originalmente na fase vapor?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado fornece e o que ele pede.
  • O sistema é um tubo rígido (volume total fixo) contendo água líquida em equilíbrio com seu vapor, à pressão inicial 0,1\\ \mathrm{MPa}.
  • Depois de lacrado, o tubo é aquecido até que o sistema passe pelo ponto crítico da água.
  • Pergunta: Que fração da massa de água estava originalmente na fase vapor? (ou seja, qual a fração de massa x que era vapor no estado inicial)
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Pressão de equilíbrio inicial: \,P_{\text{sat}}=0,1\\ \mathrm{MPa}.
  • O tubo é rígido: o volume específico médio do sistema (volume por unidade de massa) é fixo durante o aquecimento.
  • O sistema passa pelo ponto crítico: isso implica que o volume específico médio inicial é igual ao volume específico crítico v_c (porque no ponto crítico a mistura desaparece e existe uma única fase com v=v_c).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
  • Definição de volume específico: o volume específico v é o volume ocupado por unidade de massa, isto é, v=\dfrac{V}{m} e tem unidades \mathrm{m^3/kg}.
  • Num sistema bifásico líquido+vapor, se x é a fração mássica de vapor (isto é, a massa de vapor dividida pela massa total), então o volume específico médio do conjunto é a média ponderada dos volumes específicos das fases:
v = (1-x)\,v_f + x\,v_g,
onde
  • v_f é o volume específico do líquido saturado (liquido condensado) à pressão dada;
  • v_g é o volume específico do vapor saturado à mesma pressão;
  • x é a fração mássica de vapor (o que queremos achar).
  • Como o tubo é rígido, durante o aquecimento o volume específico médio v do sistema não muda. Se o sistema passa pelo ponto crítico, no ponto crítico o fluido é uma única fase com volume específico crítico v_c. Logo, para que o sistema atinja o ponto crítico, o volume específico médio inicial deve ser exatamente v_c. Portanto, basta impor
v_c = (1-x)\,v_f + x\,v_g.
  • Isolando x dessa equação, obtemos a fórmula que usaremos:
x \;=\; \frac{v_c - v_f}{v_g - v_f}.
Explicando cada termo:
  • v_c é o volume específico crítico (volume por massa no ponto crítico);
  • v_f e v_g são os volumes específicos das fases saturadas (líquido e vapor) na pressão inicial \,0,1\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Obter os valores numéricos das propriedades necessárias (peguei estes valores em tabelas padrão de vapor/água e em dados termodinâmicos do ponto crítico).
  • Volume específico do líquido saturado à 0,1\\ \mathrm{MPa}:
v_f(0,1\\ \mathrm{MPa}) = 0,001043\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Este valor é o volume específico da água líquida saturada à pressão de 0{,}1\\ \mathrm{MPa}.)
  • Volume específico do vapor saturado à 0,1\\ \mathrm{MPa}:
v_g(0,1\\ \mathrm{MPa}) = 1,694\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Este valor é o volume específico do vapor saturado à mesma pressão; foi retirado de tabelas de vapor d’água.)
  • Volume específico crítico: a densidade crítica da água é aproximadamente \rho_c=322\\ \mathrm{kg/m^3}, portanto
v_c = \frac{1}{\rho_c} \approx \frac{1}{322} = 0,003106\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Este é o volume específico no ponto crítico.)
Observação: esses valores são os valores usuais das tabelas; pequenas diferenças nas tabelas (últimos dígitos) não alteram significativamente o resultado qualitativo.

Passo 4

Substituir na fórmula e calcular passo a passo.
A fórmula deduzida foi
x = \frac{v_c - v_f}{v_g - v_f}.
Calcule o numerador:
v_c - v_f = 0,003106 - 0,001043 = 0,002063\\ \mathrm{m^3/kg}.
Calcule o denominador:
v_g - v_f = 1,694 - 0,001043 = 1,692957\\ \mathrm{m^3/kg}.
Agora a divisão:
x = \frac{0,002063}{1,692957} \approx 0,0012186.

Passo 5

Interpretação do resultado e conversão para porcentagem.
  • A fração mássica de vapor é \,x\approx0,0012186 (fração adimensional).
  • Em porcentagem isso é
x\cdot 100\% \approx 0,12186\%.
Portanto, originalmente apenas uma parcela muito pequena da massa estava em vapor — cerca de 1{,}22\times 10^{-3} da massa total, ou 0{,}122\%.

Resposta

x \approx 1{,}22\times 10^{-3} \approx 0{,}122\%

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