Considere, no universo dos números reais, a equação de incógnita x : \cos (x)=5 m-1.
a) Para que valores de m a equação possui solução?

Passo 1

O enunciado dá a equação em x real
\cos(x)=5m-1,
onde m é um parâmetro real. A pergunta é: para quais valores de m essa equação possui pelo menos uma solução x\in\mathbb{R}?

Passo 2

Conceito importante que precisamos usar (explicado de forma simples e visual): a função cosseno toma todos os valores entre -1 e 1. Em termos matemáticos isso significa que, para todo x\in\mathbb{R},
-1\le \cos(x)\le 1.
Intuição rápida: num círculo unitário o cosseno é a coordenada x do ponto sobre o círculo, então nunca sai do intervalo [-1,1]. Por isso, uma equação do tipo \cos(x)=\text{(algo)} só pode ter solução se esse “algo” estiver dentro de [-1,1].

Passo 3

Aplicando a condição anterior ao nosso problema: para existir x tal que \cos(x)=5m-1 é necessário e suficiente que
-1 \le 5m-1 \le 1.
Agora resolvemos essa desigualdade composta passo a passo.

Passo 4

Somar 1 em todos os termos da desigualdade:
-1+1 \le 5m-1+1 \le 1+1
o que dá
0 \le 5m \le 2.

Passo 5

Dividir todos os termos por 5. Como 5>0, a desigualdade não inverte:
0 \le m \le \tfrac{2}{5}.
Portanto o conjunto de valores de m que garantem solução é o intervalo fechado [0,\tfrac{2}{5}].

Passo 6

Verificação rápida com exemplos para fixar a ideia:
  • Se m=0 então 5m-1=-1 e \cos(x)=-1 tem solução (por exemplo x=\pi+2k\pi).
  • Se m=\tfrac{2}{5} então 5m-1=1 e \cos(x)=1 tem solução (por exemplo x=2k\pi).
  • Se m=\tfrac{1}{5} então 5m-1=0 e \cos(x)=0 tem solução (por exemplo x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).
  • Se m<0 ou m>\tfrac{2}{5} o valor 5m-1 fica fora de [-1,1] e não há solução.

Resposta

m\in\left[0,\tfrac{2}{5}\right]

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