Considere, no universo dos números reais, a equação de incógnita
:
.
a) Para que valores de m a equação possui solução?
Passo 1
O enunciado dá a equação em
real
onde
é um parâmetro real. A pergunta é: para quais valores de
essa equação possui pelo menos uma solução
?
Passo 2
Conceito importante que precisamos usar (explicado de forma simples e visual): a função cosseno toma todos os valores entre
e
. Em termos matemáticos isso significa que, para todo
,
Intuição rápida: num círculo unitário o cosseno é a coordenada
do ponto sobre o círculo, então nunca sai do intervalo
. Por isso, uma equação do tipo
só pode ter solução se esse “algo” estiver dentro de
.
Passo 3
Aplicando a condição anterior ao nosso problema: para existir
tal que
é necessário e suficiente que
Agora resolvemos essa desigualdade composta passo a passo.
Passo 4
Somar
em todos os termos da desigualdade:
o que dá
Passo 5
Dividir todos os termos por
. Como
, a desigualdade não inverte:
Portanto o conjunto de valores de
que garantem solução é o intervalo fechado
.
Passo 6
Verificação rápida com exemplos para fixar a ideia:
- Se
então e tem solução (por exemplo ). - Se
então e tem solução (por exemplo ). - Se
então e tem solução (por exemplo ). - Se
ou o valor fica fora de e não há solução.