Considere, no universo dos números reais, a equação de incógnita x : \cos (x)=5 m-1.
b) Para quais valores de m a equação possui solução no segundo quadrante?

Passo 1

O enunciado dá a equação \cos(x)=5m-1 com incógnita x e pede: para quais valores de m a equação possui solução no segundo quadrante?
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A incógnita é x.
  • O parâmetro é m.
  • “Segundo quadrante” significa os ângulos com \pi/2 < x < \pi (convencionamente os pontos sobre os eixos não pertencem ao quadrante).
  • A equação só terá solução no segundo quadrante se existir algum x com \pi/2 < x < \pi que satisfaça \cos(x)=5m-1.

Passo 2

Entender o comportamento de \cos(x) no segundo quadrante. Dois fatos chave (explicados de forma simples):
  • Valores nos extremos: \cos(\pi/2)=0 e \cos(\pi)=-1. Esses são valores conhecidos e fáceis de memorizar: no eixo vertical superior o cosseno vale 0, no eixo negativo x=\pi vale -1.
  • Monotonicidade (intuição): no intervalo (\pi/2,\pi) a função \cos varia de 0 para -1 de forma contínua e estritamente decrescente. Logo a imagem de \cos nesse intervalo é o intervalo aberto (-1,0). Em palavras: qualquer número entre -1 e 0 aparece como \cos(x) para algum x no segundo quadrante, e nenhum número fora desse intervalo aparece aí.

Passo 3

Traduzir a condição do problema para uma condição sobre m. Queremos que exista x\in(\pi/2,\pi) tal que \cos(x)=5m-1. Como \cos(x) descreve exatamente todos os valores de (-1,0) nesse intervalo, isso equivale a exigir que
5m-1 \in (-1,0).

Passo 4

Resolver a desigualdade passo a passo:
-1 < 5m-1 < 0.
Somando 1 aos três termos:
0 < 5m < 1.
Agora dividindo por 5 (número positivo, então a direção das desigualdades não muda):
0 < m < \tfrac{1}{5}.
Portanto os valores de m que cumprem a condição são os m estritamente entre 0 e \tfrac{1}{5}.

Passo 5

Observação sobre os extremos (para não restar dúvida): se alguém interpretasse “segundo quadrante” incluindo os eixos, então os casos limites \cos(x)=0 ou \cos(x)=-1 seriam válidos, correspondendo a m=\tfrac{1}{5} (quando x=\pi/2) e m=0 (quando x=\pi). Porém, pela convenção usual de quadrantes, os eixos não pertencem ao quadrante, então esses extremos não são incluídos aqui.

Passo 6

Dica prática para a prova (como aplicar o método a problemas parecidos): primeiro identifique o intervalo de x pedido (aqui (\pi/2,\pi)), depois determine a imagem da função trigonométrica nesse intervalo (aqui \cos toma valores em (-1,0)), e por fim imponha que a expressão em m esteja nesse intervalo e resolva a desigualdade. É uma sequência direta: intervalo de x → imagem da função → condição sobre o parâmetro → resolver desigualdade. Respire, siga esses passos e funciona bem na prova.

Resposta

m\in\bigl(0,\tfrac{1}{5}\bigr)

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