Considere, no universo dos números reais, a equação de incógnita
:
.
b) Para quais valores de m a equação possui solução no segundo quadrante?
Passo 1
O enunciado dá a equação
com incógnita
e pede: para quais valores de
a equação possui solução no segundo quadrante?
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A incógnita é
. - O parâmetro é
. - “Segundo quadrante” significa os ângulos com
(convencionamente os pontos sobre os eixos não pertencem ao quadrante). - A equação só terá solução no segundo quadrante se existir algum
com que satisfaça .
Passo 2
Entender o comportamento de
no segundo quadrante. Dois fatos chave (explicados de forma simples):
- Valores nos extremos:
e . Esses são valores conhecidos e fáceis de memorizar: no eixo vertical superior o cosseno vale , no eixo negativo vale . - Monotonicidade (intuição): no intervalo
a função varia de para de forma contínua e estritamente decrescente. Logo a imagem de nesse intervalo é o intervalo aberto . Em palavras: qualquer número entre e aparece como para algum no segundo quadrante, e nenhum número fora desse intervalo aparece aí.
Passo 3
Traduzir a condição do problema para uma condição sobre
. Queremos que exista
tal que
. Como
descreve exatamente todos os valores de
nesse intervalo, isso equivale a exigir que
Passo 4
Resolver a desigualdade passo a passo:
Somando
aos três termos:
Agora dividindo por
(número positivo, então a direção das desigualdades não muda):
Portanto os valores de
que cumprem a condição são os
estritamente entre
e
.
Passo 5
Observação sobre os extremos (para não restar dúvida): se alguém interpretasse “segundo quadrante” incluindo os eixos, então os casos limites
ou
seriam válidos, correspondendo a
(quando
) e
(quando
). Porém, pela convenção usual de quadrantes, os eixos não pertencem ao quadrante, então esses extremos não são incluídos aqui.
Passo 6
Dica prática para a prova (como aplicar o método a problemas parecidos): primeiro identifique o intervalo de
pedido (aqui
), depois determine a imagem da função trigonométrica nesse intervalo (aqui
toma valores em
), e por fim imponha que a expressão em
esteja nesse intervalo e resolva a desigualdade. É uma sequência direta: intervalo de
→ imagem da função → condição sobre o parâmetro → resolver desigualdade. Respire, siga esses passos e funciona bem na prova.