Considere \vec{u} \neq \overrightarrow{0}. Seja \vec{v} um vetor de norma 6, paralelo a \vec{u} e de mesmo sentido que \vec{u}. Escreva \vec{v} em função de \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Foi dada um vetor \vec{u} com \vec{u}\neq\overrightarrow{0}.
  • \vec{v} é um vetor tal que \|\vec{v}\|=6.
  • \vec{v} é paralelo a \vec{u} e tem o mesmo sentido de \vec{u}.
O que o enunciado pede:
  • Escrever \vec{v} em função de \vec{u}.

Passo 2

Entendendo as ideias relevantes (pequena aula):
  • Dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existir um escalar k tal que
\vec{v}=k\,\vec{u}.
  • “Mesmo sentido” significa que esse escalar k é positivo (se fosse negativo, os sentidos seriam opostos).
  • A norma (módulo, comprimento) de um vetor satisfaz a propriedade
\|\alpha\,\vec{u}\|=|\alpha|\,\|\vec{u}\|
para qualquer escalar \alpha. Em particular, se \vec{v}=k\vec{u} então \|\vec{v}\|=|k|\,\|\vec{u}\|.
  • Como \vec{u}\neq\overrightarrow{0}, tem-se \|\vec{u}\|>0, portanto dividir por \|\vec{u}\| é permitido.
Exemplo curto para fixar: se \vec{u}=(2,0) então \|\vec{u}\|=2. Se quisermos um vetor paralelo, de mesmo sentido e de norma 6, tomamos k=6/2=3 e \vec{v}=3\vec{u}=(6,0).

Passo 3

Aplicando as ideias ao problema:
  • Como \vec{v} é paralelo a \vec{u} e tem mesmo sentido, existe k>0 tal que \vec{v}=k\,\vec{u}.
  • Usando a relação da norma,
\|\vec{v}\|=\|k\,\vec{u}\|=k\,\|\vec{u}\|.
  • Pelo enunciado, \|\vec{v}\|=6. Logo
k\,\|\vec{u}\|=6.

Passo 4

Isolando k:
  • Como \|\vec{u}\|>0, dividimos ambos os lados por \|\vec{u}\| e obtemos
k=\frac{6}{\|\vec{u}\|}.
  • Esse k é positivo, como exigido pelo mesmo sentido.

Passo 5

Escrevendo \vec{v} em função de \vec{u} e verificando:
  • Substituindo k em \vec{v}=k\,\vec{u}, obtemos
\vec{v}=\frac{6}{\|\vec{u}\|}\,\vec{u}.
  • Alternativamente, essa escrita é equivalente a usar o versor (vetor unitário) na direção de \vec{u}: \dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} e escrever \vec{v}=6\cdot\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}.
  • Verificação rápida da norma:
\left\|\frac{6}{\|\vec{u}\|}\,\vec{u}\right\|=\frac{6}{\|\vec{u}\|}\,\|\vec{u}\|=6,
como desejado.

Resposta

\displaystyle \vec{v}=\frac{6}{\|\vec{u}\|}\,\vec{u}

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