Considere os vetores em \mathbb{R}^{2} :
\boldsymbol{v}=(2,-1), \quad \overline{\boldsymbol{v}}=(1.8,-0.9) .
(a) Calcule o erro absoluto E_{A}=\|\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}\|_{2} e o erro relativo E_{R}=\frac{E_{A}}{\|\boldsymbol{v}\|_{2}}, utilizando a norma euclidiana.
(b) Repita os cálculos usando a norma do máximo \|\cdot\|_{\infty}.
(c) Compare os valores obtidos das duas normas e comente brevemente a diferença entre elas na medição do erro.

Passo 1

O enunciado dá os vetores em \mathbb{R}^{2}
\boldsymbol{v}=(2,-1),\qquad \overline{\boldsymbol{v}}=(1,8,-0,9).
As perguntas são:
  • (a) Calcular o erro absoluto E_{A}=\|\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}\|_{2} e o erro relativo E_{R}=\dfrac{E_{A}}{\|\boldsymbol{v}\|_{2}} usando a norma euclidiana.
  • (b) Repetir (a) usando a norma do máximo \|\cdot\|_{\infty}.
  • (c) Comparar os valores obtidos nas duas normas e comentar brevemente a diferença na medição do erro.
Dados relevantes listados explicitamente:
\boldsymbol{v}=(2,-1),\qquad \overline{\boldsymbol{v}}=(1,8,-0,9).
Observação imediata (apenas identificação dos dados): a diferença \boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}} será usada para o erro absoluto; a norma de \boldsymbol{v} aparece no denominador do erro relativo.

Passo 2

Definição e cálculo preliminar da diferença entre os vetores (isto é o que entra no numerador do erro absoluto).
A diferença é a subtração componente a componente:
\boldsymbol{d}=\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}=(2-1,8,\; -1-(-0,9))=(0,2,\; -0,1).
Aqui mostrei cada componente: 2-1,8=0,2 e -1-(-0,9)=-0,1.

Passo 3

Explicação e cálculo do erro absoluto usando a norma euclidiana \|\cdot\|_{2}.
Definição: para x=(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2},
\|x\|_{2}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.
Isto significa que somamos os quadrados das componentes e tomamos a raiz quadrada.
Aplicando em \boldsymbol{d}=(0,2,-0,1):
E_{A}^{(2)}=\|\boldsymbol{d}\|_{2}=\sqrt{(0,2)^{2}+(-0,1)^{2}}=\sqrt{0,04+0,01}=\sqrt{0,05}.
Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{0,05}\approx 0,2236. Vou guardar a forma exata \sqrt{0,05} e a aproximação 0,2236.

Passo 4

Cálculo do erro relativo na norma euclidiana.
Definição: o erro relativo é a razão entre o erro absoluto e a norma do vetor verdadeiro,
E_{R}^{(2)}=\frac{E_{A}^{(2)}}{\|\boldsymbol{v}\|_{2}}.
Primeiro calculemos \|\boldsymbol{v}\|_{2}. Com \boldsymbol{v}=(2,-1),
\|\boldsymbol{v}\|_{2}=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Agora a razão:
E_{R}^{(2)}=\frac{\sqrt{0,05}}{\sqrt{5}}.
Podemos simplificar juntando sob a mesma raiz:
\frac{\sqrt{0,05}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{0,05}{5}}=\sqrt{0,01}=0,1.
Portanto E_{R}^{(2)}=0,1.

Passo 5

Definição da norma do máximo (norma infinito) e cálculo do erro absoluto com ela.
Definição: para x=(x_{1},x_{2}),
\|x\|_{\infty}=\max\{|x_{1}|,\;|x_{2}|\}.
Isto significa que a norma toma o maior valor absoluto entre as componentes.
Aplicando em \boldsymbol{d}=(0,2,-0,1), as magnitudes das componentes são |0,2|=0,2 e |-0,1|=0,1. Logo
E_{A}^{(\infty)}=\|\boldsymbol{d}\|_{\infty}=\max\{0,2,0,1\}=0,2.

Passo 6

Cálculo do erro relativo usando a norma \|\cdot\|_{\infty}.
Primeiro a norma do vetor \boldsymbol{v}=(2,-1) em \infty:
\|\boldsymbol{v}\|_{\infty}=\max\{|2|,|-1|\}=\max\{2,1\}=2.
Agora a razão:
E_{R}^{(\infty)}=\frac{E_{A}^{(\infty)}}{\|\boldsymbol{v}\|_{\infty}}=\frac{0,2}{2}=0,1.

Passo 7

Comparação e interpretação didática das normas e dos erros obtidos.
Resultados numéricos obtidos:
  • Norma euclidiana: E_{A}^{(2)}=\sqrt{0,05}\approx 0,2236, E_{R}^{(2)}=0,1.
  • Norma do máximo: E_{A}^{(\infty)}=0,2, E_{R}^{(\infty)}=0,1.
Comentário e razão por trás desses números (explicação conceitual e amistosa):
  • A norma euclidiana combina as componentes como uma soma de quadrados; por isso costuma dar um valor um pouco maior que a norma do máximo, que só pega a maior componente absoluta. Aqui vimos isso: 0,2236>0,2.
  • Há uma propriedade importante das normas chamada homogeneidade: para qualquer norma \|\cdot\| e qualquer escalar \alpha,
\|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|.
No nosso caso \overline{\boldsymbol{v}}=0,9\,\boldsymbol{v} (de fato 1,8=0,9\cdot 2 e -0,9=0,9\cdot(-1)). Então
\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}=(1-0,9)\boldsymbol{v}=0,1\,\boldsymbol{v},
e por homogeneidade \|\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}\|=0,1\|\boldsymbol{v}\| para qualquer norma. Assim o erro relativo
E_{R}=\frac{\|\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}\|}{\|\boldsymbol{v}\|}=0,1
é o mesmo em todas as normas — por isso E_{R}^{(2)}=E_{R}^{(\infty)}=0,1.
  • Em geral, a escolha da norma afeta o erro absoluto (porque elas medem “tamanho” de formas diferentes), mas quando a perturbação é um múltiplo escalar do vetor original (caso aqui), o erro relativo é independente da norma por causa da homogeneidade.
Força aí — mesmo com pouco tempo, entender essas propriedades (definições, homogeneidade, e a diferença intuitiva entre somar quadrados vs. pegar o máximo) já resolve muitas questões de erro em provas.

Resposta

(a) E_{A}=\sqrt{0,05}\approx 0,2236,\quad E_{R}=0,1\n
(b) E_{A}=0,2,\quad E_{R}=0,1\n
(c) O erro absoluto é ligeiramente maior na norma euclidiana ( \approx0,2236 vs 0,2), porque a norma euclidiana combina as componentes em soma de quadrados enquanto a norma \infty toma só a maior componente; os erros relativos coincidem ( 0,1) porque \overline{\boldsymbol{v}}=0,9\boldsymbol{v}, e pela homogeneidade das normas a razão \|\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}\|/\|\boldsymbol{v}\| é a mesma para qualquer norma.

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