(a) Calcule o erro absoluto E_{A}=\|\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}\|_{2} e o erro relativo E_{R}=\frac{E_{A}}{\|\boldsymbol{v}\|_{2}}, utilizando a norma euclidiana.
(b) Repita os cálculos usando a norma do máximo \|\cdot\|_{\infty}.
(c) Compare os valores obtidos das duas normas e comente brevemente a diferença entre elas na medição do erro.
(a) Calcular o erro absoluto E_{A}=\|\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}\|_{2} e o erro relativo E_{R}=\dfrac{E_{A}}{\|\boldsymbol{v}\|_{2}} usando a norma euclidiana.
(b) Repetir (a) usando a norma do máximo \|\cdot\|_{\infty}.
(c) Comparar os valores obtidos nas duas normas e comentar brevemente a diferença na medição do erro.
Observação imediata (apenas identificação dos dados): a diferença \boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}} será usada para o erro absoluto; a norma de \boldsymbol{v} aparece no denominador do erro relativo.
Passo 2
Definição e cálculo preliminar da diferença entre os vetores (isto é o que entra no numerador do erro absoluto).
A diferença é a subtração componente a componente:
Norma do máximo: E_{A}^{(\infty)}=0,2, E_{R}^{(\infty)}=0,1.
Comentário e razão por trás desses números (explicação conceitual e amistosa):
A norma euclidiana combina as componentes como uma soma de quadrados; por isso costuma dar um valor um pouco maior que a norma do máximo, que só pega a maior componente absoluta. Aqui vimos isso: 0,2236>0,2.
Há uma propriedade importante das normas chamada homogeneidade: para qualquer norma \|\cdot\| e qualquer escalar \alpha,
\|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|.
No nosso caso \overline{\boldsymbol{v}}=0,9\,\boldsymbol{v} (de fato 1,8=0,9\cdot 2 e -0,9=0,9\cdot(-1)). Então
é o mesmo em todas as normas — por isso E_{R}^{(2)}=E_{R}^{(\infty)}=0,1.
Em geral, a escolha da norma afeta o erro absoluto (porque elas medem “tamanho” de formas diferentes), mas quando a perturbação é um múltiplo escalar do vetor original (caso aqui), o erro relativo é independente da norma por causa da homogeneidade.
Força aí — mesmo com pouco tempo, entender essas propriedades (definições, homogeneidade, e a diferença intuitiva entre somar quadrados vs. pegar o máximo) já resolve muitas questões de erro em provas.
Resposta
(a) E_{A}=\sqrt{0,05}\approx 0,2236,\quad E_{R}=0,1\n
(b) E_{A}=0,2,\quad E_{R}=0,1\n
(c) O erro absoluto é ligeiramente maior na norma euclidiana (\approx0,2236 vs 0,2), porque a norma euclidiana combina as componentes em soma de quadrados enquanto a norma \infty toma só a maior componente; os erros relativos coincidem (0,1) porque \overline{\boldsymbol{v}}=0,9\boldsymbol{v}, e pela homogeneidade das normas a razão \|\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}\|/\|\boldsymbol{v}\| é a mesma para qualquer norma.