Para facilitar a escrita, chamo provisoriamente \operatorname{sen}\varphi=\sigma e \cos\varphi=\gamma (apenas para notas algébricas), isto é \sigma=\operatorname{sen}\varphi, \gamma=\cos\varphi. Assim:
Comentário final curto e encorajador: a conta mostra passo a passo que o módulo do produto vetorial é exatamente \rho^{2}\operatorname{sen}\varphi. Observe que, como \varphi\in[0,\pi], \operatorname{sen}\varphi\ge0 e a expressão é não negativa, como deve ser o módulo.