I) Considere os vetores
\overrightarrow{r_{\theta}}=-\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta \vec{i}+\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta \vec{j}+0 \vec{k}
e
\overrightarrow{r_{\varphi}}=\rho \cos \varphi \cos \theta \vec{i}+\rho \cos \varphi \operatorname{sen} \theta \vec{j}-\rho \operatorname{sen} \varphi \vec{k}
em que \rho>0, \theta \in[0,2 \pi] e \varphi \in[0, \pi]. Mostre que
\left\|\overrightarrow{r_{\theta}} \times \overrightarrow{r_{\varphi}}\right\|=\rho^{2} \operatorname{sen} \varphi

Passo 1

O enunciado dá os vetores (peguei as expressões do enunciado):
\overrightarrow{r_{\theta}}=-\rho \operatorname{sen}\varphi\,\operatorname{sen}\theta\,\vec{i}+\rho \operatorname{sen}\varphi\,\cos\theta\,\vec{j}+0\vec{k}
\overrightarrow{r_{\varphi}}=\rho \cos\varphi\,\cos\theta\,\vec{i}+\rho \cos\varphi\,\operatorname{sen}\theta\,\vec{j}-\rho \operatorname{sen}\varphi\,\vec{k}
com as condições sobre os parâmetros: \rho>0, \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in[0,\pi].
O que é pedido: mostrar que
\left\|\overrightarrow{r_{\theta}}\times\overrightarrow{r_{\varphi}}\right\|=\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi.
Lista das informações relevantes:
  • Componentes de \overrightarrow{r_{\theta}} na base (\vec{i},\vec{j},\vec{k}).
  • Componentes de \overrightarrow{r_{\varphi}} na mesma base.
  • Domínio de \varphi garante \operatorname{sen}\varphi\ge0 (útil para o módulo).

Passo 2

Escrever claramente as componentes (colocando tudo em notação de coordenadas) para evitar confusão. Das fórmulas acima:
\overrightarrow{r_{\theta}}=\bigl(-\rho \operatorname{sen}\varphi\,\operatorname{sen}\theta,\;\rho \operatorname{sen}\varphi\,\cos\theta,\;0\bigr),
\overrightarrow{r_{\varphi}}=\bigl(\rho \cos\varphi\,\cos\theta,\;\rho \cos\varphi\,\operatorname{sen}\theta,\;-\rho \operatorname{sen}\varphi\bigr).
Para facilitar a escrita, chamo provisoriamente \operatorname{sen}\varphi=\sigma e \cos\varphi=\gamma (apenas para notas algébricas), isto é \sigma=\operatorname{sen}\varphi, \gamma=\cos\varphi. Assim:
\overrightarrow{r_{\theta}}=\bigl(-\rho\sigma\operatorname{sen}\theta,\;\rho\sigma\cos\theta,\;0\bigr),
\overrightarrow{r_{\varphi}}=\bigl(\rho\gamma\cos\theta,\;\rho\gamma\operatorname{sen}\theta,\;-\rho\sigma\bigr).
Obs.: mais adiante voltamos a \sigma e \gamma para \operatorname{sen}\varphi e \cos\varphi.

Passo 3

Lembrando a definição prática do produto vetorial em coordenadas (método do determinante): para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;-(a_1b_3-a_3b_1),\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Aqui aplicamos essa fórmula às componentes de \overrightarrow{r_{\theta}} e \overrightarrow{r_{\varphi}}. Usando as notações acima:
  • a_1=-\rho\sigma\operatorname{sen}\theta, a_2=\rho\sigma\cos\theta, a_3=0.
  • b_1=\rho\gamma\cos\theta, b_2=\rho\gamma\operatorname{sen}\theta, b_3=-\rho\sigma.
Calculamos cada componente do produto vetorial:
  1. Componente \vec{i}:
a_2b_3-a_3b_2=(\rho\sigma\cos\theta)(-\rho\sigma)-0\cdot(\rho\gamma\operatorname{sen}\theta)=-\rho^{2}\sigma^{2}\cos\theta.
  1. Componente \vec{j}:
-(a_1b_3-a_3b_1)=-\bigl((-\rho\sigma\operatorname{sen}\theta)(-\rho\sigma)-0\cdot(\rho\gamma\cos\theta)\bigr)=-\rho^{2}\sigma^{2}\operatorname{sen}\theta.
(atenção ao sinal negativo da fórmula do segundo componente)
3) Componente \vec{k}:
a_1b_2-a_2b_1=(-\rho\sigma\operatorname{sen}\theta)(\rho\gamma\operatorname{sen}\theta)-(\rho\sigma\cos\theta)(\rho\gamma\cos\theta).
Simplificando essa terceira componente:
a_1b_2-a_2b_1=-\rho^{2}\sigma\gamma\bigl(\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta\bigr)=-\rho^{2}\sigma\gamma,
pois \operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Portanto o produto vetorial fica
\overrightarrow{r_{\theta}}\times\overrightarrow{r_{\varphi}}=\bigl(-\rho^{2}\sigma^{2}\cos\theta,\;-\rho^{2}\sigma^{2}\operatorname{sen}\theta,\;-\rho^{2}\sigma\gamma\bigr).

Passo 4

Fatorar -\rho^{2}\sigma para simplificar a expressão:
\overrightarrow{r_{\theta}}\times\overrightarrow{r_{\varphi}}=-\rho^{2}\sigma\bigl(\sigma\cos\theta,\;\sigma\operatorname{sen}\theta,\;\gamma\bigr).
Agora calculamos a norma (módulo) do vetor. A norma de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Assim,
\left\|\overrightarrow{r_{\theta}}\times\overrightarrow{r_{\varphi}}\right\|=\rho^{2}\sigma\sqrt{(\sigma\cos\theta)^{2}+(\sigma\operatorname{sen}\theta)^{2}+\gamma^{2}}.
Dentro da raiz:
(\sigma\cos\theta)^{2}+(\sigma\operatorname{sen}\theta)^{2}+\gamma^{2}=\sigma^{2}(\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta)+\gamma^{2}=\sigma^{2}+\gamma^{2}.
Usando a identidade trigonométrica \sigma^{2}+\gamma^{2}=\operatorname{sen}^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1, obtemos
\sqrt{\sigma^{2}+\gamma^{2}}=1.
Portanto
\left\|\overrightarrow{r_{\theta}}\times\overrightarrow{r_{\varphi}}\right\|=\rho^{2}\sigma=\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi.

Passo 5

Comentário final curto e encorajador: a conta mostra passo a passo que o módulo do produto vetorial é exatamente \rho^{2}\operatorname{sen}\varphi. Observe que, como \varphi\in[0,\pi], \operatorname{sen}\varphi\ge0 e a expressão é não negativa, como deve ser o módulo.

Resposta

\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi

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