Considere os vetores v_{1}=(-1,2,-2) e v_{2}=(2,0,-1) de \mathbb{R}^{3} e resolva os itens abaixo.
a) Encontre um terceiro vetor v_{3} \in \mathbb{R}^{3} tal que S=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} seja uma base de \mathbb{R}^{3}.
b) Seja \mathcal{C}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} a base canônica de \mathbb{R}^{3}. Encontre as matrizes de mudança de base [I]_{S}^{\mathcal{C}} e [I]_{\mathcal{C}}^{S}.
c) Determine as coordenadas do vetor w=(2,-1,3) na base \mathcal{C} e na base S.

Passo 1

O enunciado dá os vetores v_{1}=(-1,2,-2) e v_{2}=(2,0,-1) em \mathbb{R}^{3} e pede três coisas:
  • (a) encontrar um v_{3}\in\mathbb{R}^{3} tal que S=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} seja uma base de \mathbb{R}^{3};
  • (b) com \mathcal{C}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\} a base canônica, encontrar as matrizes de mudança de base [I]_{S}^{\mathcal{C}} e [I]_{\mathcal{C}}^{S};
  • (c) determinar as coordenadas do vetor w=(2,-1,3) na base \mathcal{C} e na base S.
Informações relevantes dadas:
  • v_{1}=(-1,2,-2),
  • v_{2}=(2,0,-1),
  • w=(2,-1,3),
  • \mathcal{C} é a base canônica (portanto as coordenadas canônicas de um vetor são justamente suas componentes usuais).

Passo 2

Entendimento do que é preciso para (a): uma coleção de três vetores em \mathbb{R}^{3} é uma base se os vetores forem linearmente independentes (equivalente a a matriz cujas colunas são esses vetores ter determinante diferente de zero). Uma escolha prática e sistemática para gerar um terceiro vetor linearmente independente a v_{1} e v_{2} é usar o produto vetorial v_{1}\times v_{2}. Propriedade importante do produto vetorial:
  • \,v_{1}\times v_{2} é ortogonal a v_{1} e a v_{2};
  • se v_{1} e v_{2} não são paralelos, então v_{1}\times v_{2}\neq 0, logo é linearmente independente dos dois primeiros.
    Vou calcular v_{3}=v_{1}\times v_{2} e depois verificar explicitamente que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} realmente forma uma base (determinante não nulo).

Passo 3

Cálculo do produto vetorial \,v_{1}\times v_{2}.
Usando a fórmula componente a componente:
(v_{1}\times v_{2})_{1}=v_{1,2}v_{2,3}-v_{1,3}v_{2,2},
(v_{1}\times v_{2})_{2}=v_{1,3}v_{2,1}-v_{1,1}v_{2,3},
(v_{1}\times v_{2})_{3}=v_{1,1}v_{2,2}-v_{1,2}v_{2,1}.
Substituindo v_{1}=(-1,2,-2) e v_{2}=(2,0,-1):
(v_{1}\times v_{2})_{1}=2\cdot(-1)-(-2)\cdot 0=-2,
(v_{1}\times v_{2})_{2}=(-2)\cdot 2-(-1)\cdot(-1)=-4-1=-5,
(v_{1}\times v_{2})_{3}=(-1)\cdot 0-2\cdot 2=0-4=-4.
Portanto
v_{3}=v_{1}\times v_{2}=(-2,-5,-4).
Agora verifico o determinante da matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3} para garantir que seja base:
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2\\[4pt] 2 & 0 & -5\\[4pt] -2 & -1 & -4 \end{pmatrix}.
Calculo do determinante (expansão por primeira linha):
\det(A)=-1\big(0\cdot(-4)-(-5)\cdot(-1)\big)-2\big(2\cdot(-4)-(-5)\cdot(-2)\big)-2\big(2\cdot(-1)-0\cdot(-2)\big).
Avalio cada parte:
-1(0-5)=-1(-5)=5,
-2(-8-10)=-2(-18)=36,
-2(-2-0)=-2(-2)=4.
Somando: 5+36+4=45. Como \det(A)=45\neq 0, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{3}.]

Passo 4

Parte (b): definição e construção das matrizes de mudança de base.
  • A matriz [I]_{S}^{\mathcal{C}} representa a aplicação identidade vista como transformação de coordenadas da base S para a base \mathcal{C}. Suas colunas são as coordenadas, na base canônica \mathcal{C}, dos vetores de S. Como as coordenadas de cada v_{i} na base canônica são simplesmente suas componentes, segue imediatamente:
[I]_{S}^{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2\\[4pt] 2 & 0 & -5\\[4pt] -2 & -1 & -4 \end{pmatrix}.
  • A matriz [I]_{\mathcal{C}}^{S} representa a identidade como transformação de coordenadas da base canônica \mathcal{C} para a base S. Essa matriz é a inversa da anterior:
[I]_{\mathcal{C}}^{S}=\big([I]_{S}^{\mathcal{C}}\big)^{-1}=A^{-1}.
Vou calcular A^{-1} por eliminação de Gauss-Jordan. Começo com a matriz aumentada \big(A\mid I\big) e aplico operações elementares. Para brevidade didática, apresento as principais operações e os resultados intermediários:
Matriz inicial:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & -5 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & -1 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Multiplico a primeira linha por -1:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & -5 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & -1 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Elimino abaixo da primeira coluna:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{1}, obtendo
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 4 & -9 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 0 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right).
Escalo R_{2} por 1/4:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{9}{4} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & 0\\[4pt] 0 & -5 & 0 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right).
Elimino a entrada -5 em R_{3} adicionando 5R_{2} a R_{3}, e elimino o -2 em R_{1} somando 2R_{2} a R_{1}:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{5}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{9}{4} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{45}{4} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{4} & 1 \end{array}\right).
Escalo R_{3} por -\tfrac{4}{45} para obter pivô 1:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{5}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{9}{4} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{45} & -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{4}{45} \end{array}\right).
Elimino as entradas acima do pivô da terceira coluna:
  • R_{1}\leftarrow R_{1}+\tfrac{5}{2}R_{3},
  • R_{2}\leftarrow R_{2}+\tfrac{9}{4}R_{3}.
O resultado final reduzido é
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9} & -\tfrac{2}{9}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{5} & 0 & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{45} & -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{4}{45} \end{array}\right).
Da parte direita obtemos A^{-1}:
[I]_{\mathcal{C}}^{S}=A^{-1}= \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9} & -\tfrac{2}{9}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & 0 & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{2}{45} & -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{4}{45} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Parte (c): coordenadas do vetor w=(2,-1,3).
  • Na base canônica \mathcal{C}, as coordenadas de w são simplesmente as suas componentes:
[w]_{\mathcal{C}}=(2,-1,3).
  • Na base S precisamos encontrar scalars \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=w,
ou em forma matricial
A\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Logo
\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix} =A^{-1}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Faço a multiplicação utilizando A^{-1} encontrado:
\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9} & -\tfrac{2}{9}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & 0 & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{2}{45} & -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{4}{45} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Calculo componente a componente:
\alpha=-\tfrac{1}{9}\cdot 2+\tfrac{2}{9}\cdot(-1)-\tfrac{2}{9}\cdot 3 =-\tfrac{2}{9}-\tfrac{2}{9}-\tfrac{6}{9}=-\tfrac{10}{9},
\beta=\tfrac{2}{5}\cdot 2+0\cdot(-1)-\tfrac{1}{5}\cdot 3=\tfrac{4}{5}-\tfrac{3}{5}=\tfrac{1}{5},
\gamma=-\tfrac{2}{45}\cdot 2-\tfrac{1}{9}\cdot(-1)-\tfrac{4}{45}\cdot 3 =-\tfrac{4}{45}+\tfrac{1}{9}-\tfrac{12}{45} =-\tfrac{16}{45}+\tfrac{5}{45}=-\tfrac{11}{45}.
Portanto as coordenadas de w na base S são \big(-\tfrac{10}{9},\,\tfrac{1}{5},\,-\tfrac{11}{45}\big).]

Resposta

a) v_{3}=(-2,-5,-4).
b) [I]_{S}^{\mathcal{C}}=\displaystyle\begin{pmatrix}-1 & 2 & -2\\[4pt]2 & 0 & -5\\[4pt]-2 & -1 & -4\end{pmatrix},
[I]_{\mathcal{C}}^{S}=\displaystyle\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9} & -\tfrac{2}{9}\\[4pt]\tfrac{2}{5} & 0 & -\tfrac{1}{5}\\[4pt]-\tfrac{2}{45} & -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{4}{45}\end{pmatrix}.
c) [w]_{\mathcal{C}}=(2,-1,3)
[w]_{S}=\big(-\tfrac{10}{9},\,\tfrac{1}{5},\,-\tfrac{11}{45}\big).]

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