Considere os vetores v_{1}=(-1,2,-2) e v_{2}=(2,0,-1) de \mathbb{R}^{3} e resolva os itens abaixo.
a) Encontre um terceiro vetor v_{3} \in \mathbb{R}^{3} tal que S=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} seja uma base de \mathbb{R}^{3}.
b) Seja \mathcal{C}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} a base canônica de \mathbb{R}^{3}. Encontre as matrizes de mudança de base [I]_{S}^{\mathcal{C}} e [I]_{\mathcal{C}}^{S}.
c) Determine as coordenadas do vetor w=(2,-1,3) na base \mathcal{C} e na base S.
Passo 1
O enunciado dá os vetores v_{1}=(-1,2,-2) e v_{2}=(2,0,-1) em \mathbb{R}^{3} e pede três coisas:
(a) encontrar um v_{3}\in\mathbb{R}^{3} tal que S=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} seja uma base de \mathbb{R}^{3};
(b) com \mathcal{C}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\} a base canônica, encontrar as matrizes de mudança de base [I]_{S}^{\mathcal{C}} e [I]_{\mathcal{C}}^{S};
(c) determinar as coordenadas do vetor w=(2,-1,3) na base \mathcal{C} e na base S.
Informações relevantes dadas:
v_{1}=(-1,2,-2),
v_{2}=(2,0,-1),
w=(2,-1,3),
\mathcal{C} é a base canônica (portanto as coordenadas canônicas de um vetor são justamente suas componentes usuais).
Passo 2
Entendimento do que é preciso para (a): uma coleção de três vetores em \mathbb{R}^{3} é uma base se os vetores forem linearmente independentes (equivalente a a matriz cujas colunas são esses vetores ter determinante diferente de zero). Uma escolha prática e sistemática para gerar um terceiro vetor linearmente independente a v_{1} e v_{2} é usar o produto vetorial v_{1}\times v_{2}. Propriedade importante do produto vetorial:
\,v_{1}\times v_{2} é ortogonal a v_{1} e a v_{2};
se v_{1} e v_{2} não são paralelos, então v_{1}\times v_{2}\neq 0, logo é linearmente independente dos dois primeiros.
Vou calcular v_{3}=v_{1}\times v_{2} e depois verificar explicitamente que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} realmente forma uma base (determinante não nulo).
Somando: 5+36+4=45. Como \det(A)=45\neq 0, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{3}.]
Passo 4
Parte (b): definição e construção das matrizes de mudança de base.
A matriz [I]_{S}^{\mathcal{C}} representa a aplicação identidade vista como transformação de coordenadas da base S para a base \mathcal{C}. Suas colunas são as coordenadas, na base canônica \mathcal{C}, dos vetores de S. Como as coordenadas de cada v_{i} na base canônica são simplesmente suas componentes, segue imediatamente:
A matriz [I]_{\mathcal{C}}^{S} representa a identidade como transformação de coordenadas da base canônica \mathcal{C} para a base S. Essa matriz é a inversa da anterior:
Vou calcular A^{-1} por eliminação de Gauss-Jordan. Começo com a matriz aumentada \big(A\mid I\big) e aplico operações elementares. Para brevidade didática, apresento as principais operações e os resultados intermediários: