Considere os vetores \vec{u}=(2,-1,1), \vec{v}=(1,-1,0) e \vec{w}=(-1,2,2).
(a) Verificar se os vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são coplanares.
(b) Determinar o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.
As perguntas são duas:
(a) Verificar se \vec{u},\vec{v},\vec{w} são coplanares.
(b) Determinar o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Passo 2
Vou explicar a ferramenta que usamos (sem pular etapas): o teste mais direto para coplanaridade de três vetores em \mathbb{R}^3 e para o volume do paralelepípedo é o produto misto (produto escalar de um vetor pelo produto vetorial dos outros).
Definições e interpretações úteis:
Produto vetorial: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
Esse vetor é perpendicular a \vec{a} e \vec{b} e sua magnitude \|\vec{a}\times\vec{b}\| é a área do paralelogramo determinado por \vec{a} e \vec{b}. Exemplo simples: (1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1).
Produto escalar: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Esse número é relacionado ao comprimento e ao ângulo entre os vetores.
Produto misto (ou triplo escalar): para \vec{u},\vec{v},\vec{w},
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})
é um número que geometricamente representa o volume (com sinal) do paralelepípedo determinado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Duas conclusões importantes que vamos usar:
Se \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0, então os três vetores são coplanares (volume zero).
O volume do paralelepípedo é \big|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\big|.
Agora vamos calcular esse produto misto passo a passo para os vetores dados.
Passo 3
Calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}. Aplicando a fórmula componente a componente, com \vec{v}=(1,-1,0) e \vec{w}=(-1,2,2):
Como o produto misto é -1, que é diferente de zero, conclui-se que os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} não são coplanares (se fossem coplanares o produto misto seria 0).
O sinal negativo indica apenas orientação (ordem dos vetores); o volume é a magnitude absoluta desse número.
Passo 6
Calcular o volume do paralelepípedo: é o valor absoluto do produto misto. Assim,