Considere os vetores \vec{u}=(2,-1,1), \vec{v}=(1,-1,0) e \vec{w}=(-1,2,2).
(a) Verificar se os vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são coplanares.
(b) Determinar o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(2,-1,1),\qquad \vec{v}=(1,-1,0),\qquad \vec{w}=(-1,2,2).
As perguntas são duas:
(a) Verificar se \vec{u},\vec{v},\vec{w} são coplanares.
(b) Determinar o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Passo 2

Vou explicar a ferramenta que usamos (sem pular etapas): o teste mais direto para coplanaridade de três vetores em \mathbb{R}^3 e para o volume do paralelepípedo é o produto misto (produto escalar de um vetor pelo produto vetorial dos outros).
Definições e interpretações úteis:
  • Produto vetorial: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\big).
Esse vetor é perpendicular a \vec{a} e \vec{b} e sua magnitude \|\vec{a}\times\vec{b}\| é a área do paralelogramo determinado por \vec{a} e \vec{b}. Exemplo simples: (1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1).
  • Produto escalar: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Esse número é relacionado ao comprimento e ao ângulo entre os vetores.
  • Produto misto (ou triplo escalar): para \vec{u},\vec{v},\vec{w},
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})
é um número que geometricamente representa o volume (com sinal) do paralelepípedo determinado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Duas conclusões importantes que vamos usar:
  • Se \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0, então os três vetores são coplanares (volume zero).
  • O volume do paralelepípedo é \big|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\big|.
Agora vamos calcular esse produto misto passo a passo para os vetores dados.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}. Aplicando a fórmula componente a componente, com \vec{v}=(1,-1,0) e \vec{w}=(-1,2,2):
Primeira componente:
(\vec{v}\times\vec{w})_1 = v_2 w_3 - v_3 w_2 = (-1)\cdot 2 - 0\cdot 2 = -2.
Segunda componente:
(\vec{v}\times\vec{w})_2 = v_3 w_1 - v_1 w_3 = 0\cdot(-1) - 1\cdot 2 = -2.
Terceira componente:
(\vec{v}\times\vec{w})_3 = v_1 w_2 - v_2 w_1 = 1\cdot 2 - (-1)\cdot(-1) = 2 - 1 = 1.
Portanto,
\vec{v}\times\vec{w}=(-2,-2,1).

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Com \vec{u}=(2,-1,1) e \vec{v}\times\vec{w}=(-2,-2,1):
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 2\cdot(-2) + (-1)\cdot(-2) + 1\cdot 1.
Agora as multiplicações e soma, passo a passo:
2\cdot(-2) = -4, \qquad (-1)\cdot(-2)=2, \qquad 1\cdot 1 = 1.
Somando:
-4 + 2 + 1 = -1.
Logo o produto misto vale -1.

Passo 5

Interpretação do resultado:
  • Como o produto misto é -1, que é diferente de zero, conclui-se que os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} não são coplanares (se fossem coplanares o produto misto seria 0).
  • O sinal negativo indica apenas orientação (ordem dos vetores); o volume é a magnitude absoluta desse número.

Passo 6

Calcular o volume do paralelepípedo: é o valor absoluto do produto misto. Assim,
\text{Volume}=\big|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\big|=\big|-1\big|=1.

Resposta

(a) Os vetores não são coplanares.
(b) O volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é 1.

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