Contexto: A base do processamento de sinais:
.
a) Escreva as séries de Maelaurin para
e
.
b) Substitua
por
na série de
.
c) Reagrupe os termos reais e imaginários para provar a Identidade de Euler.
a) Escreva as séries de Maelaurin para
b) Substitua
c) Reagrupe os termos reais e imaginários para provar a Identidade de Euler.
Passo 1
O enunciado nos dá a identidade básica de processamento de sinais
como contexto e pede três coisas separadas:
- Escrever as séries de Maclaurin (séries de Taylor centradas em zero) para
, e . - Substituir
por na série de . - Reagrupar os termos reais e imaginários dessa série para provar a Identidade de Euler
.
Informações relevantes fornecidas ou implícitas: podemos usar a definição de série de Maclaurin (a fórmula de Taylor em torno de zero) e as propriedades das potências de
. A resolução deve mostrar passo a passo como obter cada série e como fazer a substituição e o reagrupamento, sem pular etapas.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula geral da série de Maclaurin (Taylor em zero). Para uma função suficientemente suave
, a série de Maclaurin é dada por
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Aqui,
(lê-se
fatorial) é o produto
com
. Essa fórmula é a base para gerar as séries pedidas.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Maclaurin à função
. As derivadas de
são muito simples: para todo
temos
. Avaliando em
obtemos
. Portanto, na fórmula de Maclaurin o numerador sempre vale
. Logo a série é
Para intuir: escrevendo os primeiros termos temos
Passo 4
Agora a série de Maclaurin para
. Calculamos as derivadas e avaliamos em
. As derivadas de
formam um ciclo:
ou seja, depois de quatro derivadas voltamos à função original. Avaliando em
:
portanto apenas as derivadas de ordem ímpar dão valor não nulo em zero, e elas alternam sinal. Usando a fórmula de Maclaurin isso gera a série
Escrevendo os primeiros termos:
Passo 5
Agora a série de Maclaurin para
. Usando o mesmo ciclo de derivadas e avaliando em
obtemos que apenas as derivadas de ordem par são não nulas em zero, com sinais alternados. Assim
Escrevendo os primeiros termos:
Passo 6
Agora partimos para a substituição pedida: na série de
substituímos
por
. Primeiro, lembre que potências de
se comportam ciclicamente:
e assim por diante. Substituindo na série de
obtemos
Escrevendo alguns termos iniciais explicitamente:
Passo 7
Vamos separar a soma em termos de
pares e ímpares para reconhecer partes reais e imaginárias. Escrevemos a soma como a soma sobre
(pares) e sobre
(ímpares):
Agora usamos as identidades
e
. Substituindo:
Passo 8
Compare as somas obtidas com as séries conhecidas de
e
(obtidas nos passos anteriores). Repare que
Portanto a expressão do passo anterior coincide exatamente com
Passo 9
Comentário sobre validade: as séries de
,
e
têm raio de convergência infinito (podemos justificar com o teste da razão ou pela forma dos termos), então substituir
(um número complexo) é permitido e a manipulação de separar pares e ímpares é legítima. Assim a igualdade vale para todo
(na verdade para todo número complexo
).
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)