Contexto: A base do processamento de sinais: e^{i x}=\cos (x)+i \sin (x).
a) Escreva as séries de Maelaurin para e^{x}, \sin (x) e \cos (x).
b) Substitua x por i \theta na série de e^{x}.
c) Reagrupe os termos reais e imaginários para provar a Identidade de Euler.

Passo 1

O enunciado nos dá a identidade básica de processamento de sinais e^{i x}=\cos(x)+i\sin(x) como contexto e pede três coisas separadas:
  1. Escrever as séries de Maclaurin (séries de Taylor centradas em zero) para e^{x}, \sin(x) e \cos(x).
  2. Substituir x por i\theta na série de e^{x}.
  3. Reagrupar os termos reais e imaginários dessa série para provar a Identidade de Euler e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta).
Informações relevantes fornecidas ou implícitas: podemos usar a definição de série de Maclaurin (a fórmula de Taylor em torno de zero) e as propriedades das potências de i. A resolução deve mostrar passo a passo como obter cada série e como fazer a substituição e o reagrupamento, sem pular etapas.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula geral da série de Maclaurin (Taylor em zero). Para uma função suficientemente suave f, a série de Maclaurin é dada por
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Aqui, n! (lê-se n fatorial) é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n com 0!=1. Essa fórmula é a base para gerar as séries pedidas.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Maclaurin à função e^{x}. As derivadas de e^{x} são muito simples: para todo n\ge 0 temos \frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x}=e^{x}. Avaliando em x=0 obtemos e^{0}=1. Portanto, na fórmula de Maclaurin o numerador sempre vale 1. Logo a série é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Para intuir: escrevendo os primeiros termos temos
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots.

Passo 4

Agora a série de Maclaurin para \sin(x). Calculamos as derivadas e avaliamos em 0. As derivadas de \sin(x) formam um ciclo:
\begin{aligned} \sin(x)&\xrightarrow{'}\cos(x)\\\ \cos(x)&\xrightarrow{'}- \sin(x)\\\\ - \sin(x)&\xrightarrow{'}- \cos(x)\\\\ - \cos(x)&\xrightarrow{'}\sin(x), \end{aligned}
ou seja, depois de quatro derivadas voltamos à função original. Avaliando em x=0:
\sin(0)=0,\quad \cos(0)=1,\quad -\sin(0)=0,\quad -\cos(0)=-1,
portanto apenas as derivadas de ordem ímpar dão valor não nulo em zero, e elas alternam sinal. Usando a fórmula de Maclaurin isso gera a série
\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Escrevendo os primeiros termos:
\sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots.

Passo 5

Agora a série de Maclaurin para \cos(x). Usando o mesmo ciclo de derivadas e avaliando em 0 obtemos que apenas as derivadas de ordem par são não nulas em zero, com sinais alternados. Assim
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Escrevendo os primeiros termos:
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots.

Passo 6

Agora partimos para a substituição pedida: na série de e^{x} substituímos x por i\theta. Primeiro, lembre que potências de i se comportam ciclicamente:
i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,
e assim por diante. Substituindo na série de e^{x} obtemos
e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n}\theta^{n}}{n!}.
Escrevendo alguns termos iniciais explicitamente:
e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta)^{3}}{3!}+\frac{(i\theta)^{4}}{4!}+\cdots.

Passo 7

Vamos separar a soma em termos de n pares e ímpares para reconhecer partes reais e imaginárias. Escrevemos a soma como a soma sobre n=2k (pares) e sobre n=2k+1 (ímpares):
e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k}\theta^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k+1}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Agora usamos as identidades i^{2k}=(-1)^{k} e i^{2k+1}=i\cdot i^{2k}=i(-1)^{k}. Substituindo:
e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 8

Compare as somas obtidas com as séries conhecidas de \cos(\theta) e \sin(\theta) (obtidas nos passos anteriores). Repare que
\cos(\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{\theta^{2k}}{(2k)!},
\sin(\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Portanto a expressão do passo anterior coincide exatamente com
e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta).

Passo 9

Comentário sobre validade: as séries de e^{x}, \sin x e \cos x têm raio de convergência infinito (podemos justificar com o teste da razão ou pela forma dos termos), então substituir x=i\theta (um número complexo) é permitido e a manipulação de separar pares e ímpares é legítima. Assim a igualdade vale para todo \theta\in\mathbb{R} (na verdade para todo número complexo \theta).

Resposta

a) e^{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},\;\sin(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\;\cos(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
b) e^{i\theta}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n}\theta^{n}}{n!}.
c) e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta).

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