Contexto: Computadores usam séries para aproximar raízes quadradas.
a) Use a expansāo binomial de Taylor para aproximar
ao redor de
(considere
.
b) Calcule uma aproximaçāo para
usando os três primeiros termos.
c) Determine o erro absoluto comparando com o valor da calculadora.
a) Use a expansāo binomial de Taylor para aproximar
b) Calcule uma aproximaçāo para
c) Determine o erro absoluto comparando com o valor da calculadora.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (a) Obter a expansão em série (pela expansão binomial / Taylor) de
ao redor de , isto é, a expansão de em potências de . - (b) Usar os três primeiros termos dessa expansão para aproximar
. - (c) Calcular o erro absoluto dessa aproximação comparando com o valor da calculadora de
.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- Vamos trabalhar com a função
. - Para aproximar
vemos que , ou seja, usaremos . - Pede-se explicitamente usar os três primeiros termos da expansão.
Passo 2
Conceito usado (explicado de forma simples): existe a fórmula da expansão binomial (ou série de Taylor centrada em
para
) que dá uma série em potências de
. A versão geral é:
onde os coeficientes binomiais generalizados são definidos por
com
.
Explicando: é o expoente (aqui
),
é o índice do termo (começa em
), e
é o fatorial de
. Isso gera uma série em potências de
válida para
(e até certo ponto em
dependendo de
).
Explicando:
Passo 3
Aplicando com
. Vamos calcular explicitamente os primeiros coeficientes
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
(útil para entender o termo seguinte e estimar erro):
Comentário: os sinais e valores foram obtidos aplicando a fórmula do coeficiente passo a passo — sempre importante fazer isso devagar na prova para não errar sinal.
Passo 4
Escrevendo a expansão usando os coeficientes calculados: a série de
começa
Para o que o enunciado pede em (b) (os três primeiros termos), vamos usar exatamente os três primeiros termos dessa soma:
onde o símbolo
indica que estamos truncando a série depois do termo em
.
Passo 5
Agora aplicamos isso para
. Tomamos
. Substituindo na aproximação de três termos:
Calcule cada contribuição:
Somando os três termos:
Portanto a aproximação com os três primeiros termos é
.
Passo 6
Agora vamos comparar com o valor verdadeiro (usando a calculadora). O valor de referência (calculadora) para
é aproximadamente
(Copiei esse valor da calculadora para ter a comparação.)
Passo 7
Calcular o erro absoluto: diferença em módulo entre o valor exato aproximado pela calculadora e nossa aproximação truncada:
Arredondando razoavelmente,
(ou
).
Comentário didático final: dá para ver que o próximo termo desprezado na série é
. Com
esse termo vale
, que é da mesma ordem do erro observado — isso é esperado: o erro de truncamento costuma ser aproximadamente do tamanho do primeiro termo descartado.
Resposta
(a)
. Usando três termos:
(b)
(c) Erro absoluto (aproximadamente
).
(b)
(c) Erro absoluto