Contexto: Computadores usam séries para aproximar raízes quadradas.
a) Use a expansāo binomial de Taylor para aproximar \sqrt{x} ao redor de a=1 (considere \sqrt{1+x}).
b) Calcule uma aproximaçāo para \sqrt{1.2} usando os três primeiros termos.
c) Determine o erro absoluto comparando com o valor da calculadora.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. (a) Obter a expansão em série (pela expansão binomial / Taylor) de \sqrt{x} ao redor de a=1, isto é, a expansão de \sqrt{1+x} em potências de x.
  2. (b) Usar os três primeiros termos dessa expansão para aproximar \sqrt{1{,}2}.
  3. (c) Calcular o erro absoluto dessa aproximação comparando com o valor da calculadora de \sqrt{1{,}2}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • Vamos trabalhar com a função \sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}.
  • Para aproximar \sqrt{1{,}2} vemos que \sqrt{1{,}2}=\sqrt{1+0{,}2}, ou seja, usaremos x=0{,}2.
  • Pede-se explicitamente usar os três primeiros termos da expansão.

Passo 2

Conceito usado (explicado de forma simples): existe a fórmula da expansão binomial (ou série de Taylor centrada em x=0 para (1+x)^\alpha) que dá uma série em potências de x. A versão geral é:
(1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k},
onde os coeficientes binomiais generalizados são definidos por
\binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k!},
com \binom{\alpha}{0}=1.
Explicando: \alpha é o expoente (aqui \alpha=\tfrac{1}{2}), k é o índice do termo (começa em 0), e k! é o fatorial de k. Isso gera uma série em potências de x válida para |x|<1 (e até certo ponto em |x|=1 dependendo de \alpha).

Passo 3

Aplicando com \alpha=\tfrac{1}{2}. Vamos calcular explicitamente os primeiros coeficientes \binom{1/2}{k}:
Para k=0:
\binom{1/2}{0}=1.
Para k=1:
\binom{1/2}{1}=\frac{1/2}{1!}=\frac{1}{2}.
Para k=2:
\binom{1/2}{2}=\frac{(1/2)\,(1/2-1)}{2!}=\frac{(1/2)(-1/2)}{2}=\frac{-1}{8}.
Para k=3 (útil para entender o termo seguinte e estimar erro):
\binom{1/2}{3}=\frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{3!}=\frac{1\cdot(-1)\cdot(-3)}{2^3\cdot 6}=\frac{3}{48}=\frac{1}{16}.
Comentário: os sinais e valores foram obtidos aplicando a fórmula do coeficiente passo a passo — sempre importante fazer isso devagar na prova para não errar sinal.

Passo 4

Escrevendo a expansão usando os coeficientes calculados: a série de (1+x)^{1/2} começa
(1+x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^{2} + \frac{1}{16}x^{3} + \cdots
Para o que o enunciado pede em (b) (os três primeiros termos), vamos usar exatamente os três primeiros termos dessa soma:
(1+x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^{2},
onde o símbolo \approx indica que estamos truncando a série depois do termo em x^{2}.

Passo 5

Agora aplicamos isso para \sqrt{1{,}2}=\sqrt{1+0{,}2}. Tomamos x=0{,}2. Substituindo na aproximação de três termos:
Calcule cada contribuição:
\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}\cdot 0{,}2 = 0{,}1.
x^{2} = (0{,}2)^{2} = 0{,}04.
-\frac{1}{8}x^{2} = -\frac{1}{8}\cdot 0{,}04 = -0{,}005.
Somando os três termos:
1 + 0{,}1 - 0{,}005 = 1{,}095.
Portanto a aproximação com os três primeiros termos é \,1{,}095.

Passo 6

Agora vamos comparar com o valor verdadeiro (usando a calculadora). O valor de referência (calculadora) para \sqrt{1{,}2} é aproximadamente
\sqrt{1{,}2} \approx 1{,}095445115\ldots
(Copiei esse valor da calculadora para ter a comparação.)

Passo 7

Calcular o erro absoluto: diferença em módulo entre o valor exato aproximado pela calculadora e nossa aproximação truncada:
\text{erro absoluto} = \left|1{,}095 - 1{,}095445115\ldots\right| \approx 0{,}000445115\ldots
Arredondando razoavelmente, \text{erro absoluto}\approx 4{,}45\times 10^{-4} (ou 0{,}000445).
Comentário didático final: dá para ver que o próximo termo desprezado na série é \dfrac{1}{16}x^{3}. Com x=0{,}2 esse termo vale \dfrac{1}{16}\cdot (0{,}2)^{3}=\dfrac{1}{16}\cdot 0{,}008=0{,}0005, que é da mesma ordem do erro observado — isso é esperado: o erro de truncamento costuma ser aproximadamente do tamanho do primeiro termo descartado.

Resposta

(a) (1+x)^{1/2}=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^{2}+\dfrac{1}{16}x^{3}+\cdots. Usando três termos: (1+x)^{1/2}\approx 1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^{2}.
(b) \sqrt{1{,}2}\approx 1{,}095.
(c) Erro absoluto \approx 0{,}000445115 (aproximadamente 4{,}45\times 10^{-4}).

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