Contexto: A detecção de bordas depende de derivadas. Como imagens sĩo discretas, usamos diferenças finitas derivadas de Taylor.
a) Escreva a expansaio de Taylor para f(x+h) e f(x-h).
b) Subtraia as duas equações para isolar f^{\prime}(x) e demonstre a fórmula da Diferença Central:
f^{\prime}(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2 h}
c) Explique a dependência do erro de truncamento em relaçāo a h^{2}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
a) Escrever a expansão de Taylor para \,f(x+h)\, e para \,f(x-h)\,.
b) Subtrair essas duas expansões para isolar \,f'(x)\, e demonstrar a fórmula da Diferença Central
f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.
c) Explicar por que o erro de truncamento dessa aproximação depende de \,h^{2}\, (ou seja, por que o erro é da ordem de \,h^{2}\,).
Informações úteis dadas implicitamente: estamos usando o desenvolvimento em série de Taylor (com termos até certa ordem) e assumimos que f é suave suficiente (possui derivadas até ordem necessária) no intervalo em torno de x.

Passo 2

Vamos escrever as expansões de Taylor em torno de x. Vou apresentar as séries até a ordem 4 para que fique claro o cancelamento de termos pares/ímpares. Pelo teorema de Taylor (com resto em série), temos:
f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)+\frac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\frac{h^{4}}{24} f^{(4)}(x)+\cdots
f(x-h)=f(x)-h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)-\frac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\frac{h^{4}}{24} f^{(4)}(x)+\cdots
Explicando devagar: cada termo vem da fórmula geral da série de Taylor
f(x\pm h)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\pm h)^{k}}{k!}f^{(k)}(x),
onde f^{(k)}(x) é a k-ésima derivada de f em x. O sinal alterna conforme a potência de h for par ou ímpar.

Passo 3

Agora subtraímos as duas expansões (fazemos f(x+h)-f(x-h)). Observe que os termos com potências pares de h (como h^{0},h^{2},h^{4},\ldots) aparecem com o mesmo sinal em ambas as expansões e, portanto, se cancelam na subtração? Atenção: na subtração, os termos pares NÃO se cancelam — vamos efetuar a subtração explicitamente:
Subtraindo termo a termo:
\begin{aligned} f(x+h)-f(x-h) &= \bigl[f(x)+h f'(x)+\tfrac{h^{2}}{2} f''(x)+\tfrac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\tfrac{h^{4}}{24} f^{(4)}(x)+\cdots\bigr]\\\ &\quad -\bigl[f(x)-h f'(x)+\tfrac{h^{2}}{2} f''(x)-\tfrac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\tfrac{h^{4}}{24} f^{(4)}(x)+\cdots\bigr] \end{aligned}
Agora simplificando cada tipo de termo:
  • Os termos f(x) se cancelam: f(x)-f(x)=0.
  • Os termos em h f'(x) somam-se: h f'(x) - (-h f'(x)) = 2h f'(x).
  • Os termos em h^{2} f''(x) cancelam: \tfrac{h^{2}}{2} f''(x) - \tfrac{h^{2}}{2} f''(x)=0.
  • Os termos em h^{3} f^{(3)}(x) somam-se: \tfrac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x) - \bigl(-\tfrac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)\bigr)=\tfrac{2h^{3}}{6} f^{(3)}(x)=\tfrac{h^{3}}{3} f^{(3)}(x).
  • Os termos em h^{4} f^{(4)}(x) cancelam: \tfrac{h^{4}}{24} - \tfrac{h^{4}}{24}=0.
  • E assim por diante: todos os termos de ordem par em h (2,4,6,…) se cancelam; os de ordem ímpar (1,3,5,…) somam-se.
Portanto obtemos a série ímpar resultante:
f(x+h)-f(x-h)=2h f'(x)+\frac{h^{3}}{3} f^{(3)}(x)+\frac{h^{5}}{60} f^{(5)}(x)+\cdots
onde os coeficientes seguem da soma dos termos ímpares da expansão.

Passo 4

Agora isolamos f'(x). Dividindo a expressão anterior por 2h:
\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f'(x)+\frac{h^{2}}{6} f^{(3)}(x)+\frac{h^{4}}{120} f^{(5)}(x)+\cdots
Rearranjando, temos exatamente a fórmula da Diferença Central com seu termo de erro explícito:
f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-\frac{h^{2}}{6} f^{(3)}(x)+O(h^{4}).
Na prática, para aproximar f'(x) descartamos os termos de ordem superior em h e escrevemos a aproximação:
f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.
Esse é o resultado pedido em (b). A explicação “por que isso funciona” fica clara: os termos de ordem par em h cancelam na subtração, então o termo de erro principal vem de h^{3} dividido por 2h, que dá h^{2}.

Passo 5

Agora a explicação didática do porquê o erro é proporcional a \,h^{2}\,:
  • Do passo anterior, ao dividir por 2h obtemos o termo de correção \tfrac{h^{2}}{6} f^{(3)}(x) mais termos de ordem superior. Logo o erro de truncamento (a diferença entre a verdadeira derivada e a aproximação) tem a forma
\text{erro}=\frac{h^{2}}{6} f^{(3)}(\xi)
para algum \xi entre x-h e x+h (isto é a forma do resto de Lagrange ou pode ser visto pela soma das séries). Em notação assintótica escrevemos
\text{erro}=O(h^{2}).
  • Intuição prática: como o termo de ordem h (o que daria erro proporcional a h) não aparece na fórmula resultante (ele foi exatamente usado para formar a estimativa), o primeiro termo não-cancelado que resta tem potência h^{2}. Por isso o erro decresce quadráticamente quando h diminui: se você cortar h pela metade, o erro cai por um fator aproximadamente 4.
  • Comparação rápida: a diferença frontal (forward difference) \tfrac{f(x+h)-f(x)}{h} tem erro O(h), menos precisa que a diferença central O(h^{2}). Portanto a central é preferida quando se pode avaliar f em ambos os lados de x.

Passo 6

Exemplo numérico simples para fixar a ideia (um exercício rápido que dá intuição): escolha f(x)=\sin x em x=0. Sabemos f'(0)=\cos 0=1. A diferença central com passo h
\frac{\sin(h)-\sin(-h)}{2h}=\frac{2\sin(h)}{2h}=\frac{\sin(h)}{h}.
Usando a expansão \sin(h)=h-\tfrac{h^{3}}{6}+O(h^{5}), obtemos
\frac{\sin(h)}{h}=1-\frac{h^{2}}{6}+O(h^{4}).
Aí está: o erro principal é -\tfrac{h^{2}}{6}, proporcional a h^{2}, confirmando a análise anterior. Pequena mensagem de incentivo: isso é típico em métodos numéricos — ver o termo principal do erro te dá poder pra escolher um h adequado antes da prova.

Resposta

a) f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)+\frac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\frac{h^{4}}{24} f^{(4)}(x)+\cdots
f(x-h)=f(x)-h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)-\frac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\frac{h^{4}}{24} f^{(4)}(x)+\cdots
b) f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}
c) O erro de truncamento é da ordem de \,h^{2}\,; mais precisamente
\text{erro}=\frac{h^{2}}{6}f^{(3)}(\xi)=O(h^{2})
para algum \xi\in(x-h,x+h), ou, expandindo a série,
\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f'(x)+\frac{h^{2}}{6}f^{(3)}(x)+O(h^{4}).

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