Contexto: A detecção de bordas depende de derivadas. Como imagens sĩo discretas, usamos diferenças finitas derivadas de Taylor.
a) Escreva a expansaio de Taylor para
e
.
b) Subtraia as duas equações para isolar
e demonstre a fórmula da Diferença Central:
c) Explique a dependência do erro de truncamento em relaçāo a
.
a) Escreva a expansaio de Taylor para
b) Subtraia as duas equações para isolar
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
a) Escrever a expansão de Taylor para e para
.
b) Subtrair essas duas expansões para isolar e demonstrar a fórmula da Diferença Central
a) Escrever a expansão de Taylor para
b) Subtrair essas duas expansões para isolar
c) Explicar por que o erro de truncamento dessa aproximação depende de
(ou seja, por que o erro é da ordem de
).
Informações úteis dadas implicitamente: estamos usando o desenvolvimento em série de Taylor (com termos até certa ordem) e assumimos que é suave suficiente (possui derivadas até ordem necessária) no intervalo em torno de
.
Informações úteis dadas implicitamente: estamos usando o desenvolvimento em série de Taylor (com termos até certa ordem) e assumimos que
Passo 2
Vamos escrever as expansões de Taylor em torno de
. Vou apresentar as séries até a ordem 4 para que fique claro o cancelamento de termos pares/ímpares. Pelo teorema de Taylor (com resto em série), temos:
Explicando devagar: cada termo vem da fórmula geral da série de Taylor
onde
é a
-ésima derivada de
em
. O sinal alterna conforme a potência de
for par ou ímpar.
Passo 3
Agora subtraímos as duas expansões (fazemos
). Observe que os termos com potências pares de
(como
) aparecem com o mesmo sinal em ambas as expansões e, portanto, se cancelam na subtração? Atenção: na subtração, os termos pares NÃO se cancelam — vamos efetuar a subtração explicitamente:
Subtraindo termo a termo:
Agora simplificando cada tipo de termo:
- Os termos
se cancelam: . - Os termos em
somam-se: . - Os termos em
cancelam: . - Os termos em
somam-se: . - Os termos em
cancelam: . - E assim por diante: todos os termos de ordem par em
(2,4,6,…) se cancelam; os de ordem ímpar (1,3,5,…) somam-se.
Portanto obtemos a série ímpar resultante:
onde os coeficientes seguem da soma dos termos ímpares da expansão.
Passo 4
Agora isolamos
. Dividindo a expressão anterior por
:
Rearranjando, temos exatamente a fórmula da Diferença Central com seu termo de erro explícito:
Na prática, para aproximar
descartamos os termos de ordem superior em
e escrevemos a aproximação:
Esse é o resultado pedido em (b). A explicação “por que isso funciona” fica clara: os termos de ordem par em
cancelam na subtração, então o termo de erro principal vem de
dividido por
, que dá
.
Passo 5
Agora a explicação didática do porquê o erro é proporcional a
:
- Do passo anterior, ao dividir por
obtemos o termo de correção mais termos de ordem superior. Logo o erro de truncamento (a diferença entre a verdadeira derivada e a aproximação) tem a forma
para algum
entre
e
(isto é a forma do resto de Lagrange ou pode ser visto pela soma das séries). Em notação assintótica escrevemos
- Intuição prática: como o termo de ordem
(o que daria erro proporcional a ) não aparece na fórmula resultante (ele foi exatamente usado para formar a estimativa), o primeiro termo não-cancelado que resta tem potência . Por isso o erro decresce quadráticamente quando diminui: se você cortar pela metade, o erro cai por um fator aproximadamente . - Comparação rápida: a diferença frontal (forward difference)
tem erro , menos precisa que a diferença central . Portanto a central é preferida quando se pode avaliar em ambos os lados de .
Passo 6
Exemplo numérico simples para fixar a ideia (um exercício rápido que dá intuição): escolha
em
. Sabemos
. A diferença central com passo
dá
Usando a expansão
, obtemos
Aí está: o erro principal é
, proporcional a
, confirmando a análise anterior. Pequena mensagem de incentivo: isso é típico em métodos numéricos — ver o termo principal do erro te dá poder pra escolher um
adequado antes da prova.
Resposta
a)
b)
c) O erro de truncamento é da ordem de
; mais precisamente
para algum
, ou, expandindo a série,