Contexto: A energia cinética relativistica é K=(\gamma-1) m c^{2}, onde \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}. A baixas velocidades, isso deve se reduzir à fórmula de Newton.
a) Defina x=\frac{v^{2}}{c^{2}} e use a Série de Taylor (Binomial) para expandir (1-x)^{-1 / 2} em torno de x=0.
b) Substitua a expansão na equação da energia cinética e mostre que o primeiro termo recupera a fórmula de Newton K=\frac{1}{2} m v^{2}.
c) Interprete o que o segundo termo da série representa fisicamente.

Passo 1

O enunciado fornece a energia cinética relativística
K=(\gamma-1)\,m\,c^{2},
com
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}
e pede três coisas:
  1. (a) Definir x=\dfrac{v^{2}}{c^{2}} e expandir (1-x)^{-1/2} em torno de x=0 usando Série de Taylor / Binomial.
  2. (b) Substituir essa expansão em K e mostrar que o primeiro termo recupera a fórmula newtoniana K=\dfrac{1}{2}mv^{2}.
  3. (c) Interpretar fisicamente o segundo termo da série.
    Informações relevantes dadas: a fórmula de K, a definição de \gamma e a substituição x=\dfrac{v^{2}}{c^{2}}. Não começamos a desenvolver nada ainda.

Passo 2

Vou recordar a fórmula binomial/Taylor usada aqui. Para um expoente qualquer \alpha e |u|<1,
(1+u)^{\alpha}=1+\alpha u+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}u^{2}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}u^{3}+\cdots.
Nesta questão queremos (1-x)^{-1/2}. Identifico u=-x e \alpha=-\tfrac{1}{2}. Substituindo na fórmula, cada coeficiente fica explícito. Vou calcular os dois primeiros coeficientes não-triviais com calma:
\alpha=-\tfrac{1}{2},
\alpha u = -\tfrac{1}{2}\cdot(-x)=+\tfrac{1}{2}x,
\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}u^{2}=\frac{(-\tfrac{1}{2})(-\tfrac{3}{2})}{2}\cdot(-x)^{2} =\frac{(-\tfrac{1}{2})(-\tfrac{3}{2})}{2}\,x^{2}.
Agora calcule o coeficiente numérico:
(-\tfrac{1}{2})(-\tfrac{3}{2})=\tfrac{3}{4},\qquad \frac{3/4}{2}=\tfrac{3}{8}.

Passo 3

Com os cálculos do passo anterior, a expansão até a ordem x^{2} é
(1-x)^{-1/2}=1+\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{8}x^{2}+\mathcal{O}(x^{3}),
onde \mathcal{O}(x^{3}) indica termos de ordem x^{3} e superiores que ficam pequenos quando x\to 0. Lembre que x=\dfrac{v^{2}}{c^{2}}, então esta expansão é válida quando x\ll 1 (isto é, v\ll c).

Passo 4

Agora substituo a expansão em \gamma. Como \gamma=(1-x)^{-1/2}, temos
\gamma = 1+\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{8}x^{2}+\mathcal{O}(x^{3}).
Logo
\gamma-1=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{8}x^{2}+\mathcal{O}(x^{3}).
Multiplico por m c^{2} para obter K:
K=(\gamma-1)m c^{2}=m c^{2}\!\left(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{8}x^{2}+\mathcal{O}(x^{3})\right).
Agora substituo x=\dfrac{v^{2}}{c^{2}} termo a termo:
K=m c^{2}\left(\tfrac{1}{2}\cdot\frac{v^{2}}{c^{2}}+\tfrac{3}{8}\cdot\frac{v^{4}}{c^{4}}+\mathcal{O}\!\left(\frac{v^{6}}{c^{6}}\right)\right).
Simplificando os c^{2} quando possível:
K=\tfrac{1}{2}m v^{2}+\tfrac{3}{8}m\frac{v^{4}}{c^{2}}+\mathcal{O}\!\left(m\frac{v^{6}}{c^{4}}\right).

Passo 5

Mostrei explicitamente que o primeiro termo é
\tfrac{1}{2}m v^{2},
que é exatamente a energia cinética newtoniana — portanto, a fórmula relativística reduz-se à fórmula clássica para v\ll c. Agora calcule a razão entre o segundo termo e o primeiro termo para medir sua importância relativa:
\frac{\tfrac{3}{8}m\frac{v^{4}}{c^{2}}}{\tfrac{1}{2}m v^{2}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{v^{2}}{c^{2}}.
Isso mostra que o segundo termo é menor que o primeiro por um fator da ordem de \dfrac{v^{2}}{c^{2}}. Por exemplo, se v=0,1\,c então \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=0,01 e a razão é \dfrac{3}{4}\cdot0,01=0,0075, ou seja, uma correção de cerca de 0,75\%.

Passo 6

Interpretação física do segundo termo: ele é o primeiro termo de correção relativística à energia cinética clássica — ou seja, o ajuste que aparece porque a relação entre energia, massa e velocidade não é quadrática simples quando as velocidades se aproximam de c. Esse termo positivo ( \tfrac{3}{8}m v^{4}/c^{2}) indica que a energia cinética real é um pouco maior do que a predita por \tfrac{1}{2}mv^{2} quando v aumenta. Fisicamente, reflete efeitos como aumento efetivo da “inércia” conforme a velocidade cresce (às vezes descrito informalmente como aumento de massa relativística) e as consequências da dilatação temporal/energia da teoria da relatividade. Em termos práticos, para velocidades típicas muito menores que c esse segundo termo é desprezível; à medida que v se aproxima de c ele se torna relevante e outros termos de ordem superior também passam a importar.

Resposta

(a) (1-x)^{-1/2}=1+\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{8}x^{2}+\mathcal{O}(x^{3}).
(b) K=\tfrac{1}{2}m v^{2}+\tfrac{3}{8}m\frac{v^{4}}{c^{2}}+\mathcal{O}\!\left(m\frac{v^{6}}{c^{4}}\right), portanto o primeiro termo recupera K=\tfrac{1}{2}mv^{2}.
(c) O segundo termo \tfrac{3}{8}m\frac{v^{4}}{c^{2}} é a primeira correção relativística à energia cinética clássica: é positivo, pequeno quando v\ll c (escala como v^{4}/c^{2}) e representa o aumento da energia real devido a efeitos relativísticos (aumento efetivo da inércia/diferenças na relação energia‑velocidade).

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