Contexto: A energia cinética relativistica é
, onde
. A baixas velocidades, isso deve se reduzir à fórmula de Newton.
a) Defina
e use a Série de Taylor (Binomial) para expandir
em torno de
.
b) Substitua a expansão na equação da energia cinética e mostre que o primeiro termo recupera a fórmula de Newton
.
c) Interprete o que o segundo termo da série representa fisicamente.
a) Defina
b) Substitua a expansão na equação da energia cinética e mostre que o primeiro termo recupera a fórmula de Newton
c) Interprete o que o segundo termo da série representa fisicamente.
Passo 1
O enunciado fornece a energia cinética relativística
com
e pede três coisas:
- (a) Definir
e expandir em torno de usando Série de Taylor / Binomial. - (b) Substituir essa expansão em
e mostrar que o primeiro termo recupera a fórmula newtoniana . - (c) Interpretar fisicamente o segundo termo da série.
Informações relevantes dadas: a fórmula de, a definição de e a substituição . Não começamos a desenvolver nada ainda.
Passo 2
Vou recordar a fórmula binomial/Taylor usada aqui. Para um expoente qualquer
e
,
Nesta questão queremos
. Identifico
e
. Substituindo na fórmula, cada coeficiente fica explícito. Vou calcular os dois primeiros coeficientes não-triviais com calma:
Agora calcule o coeficiente numérico:
Passo 3
Com os cálculos do passo anterior, a expansão até a ordem
é
onde
indica termos de ordem
e superiores que ficam pequenos quando
. Lembre que
, então esta expansão é válida quando
(isto é,
).
Passo 4
Agora substituo a expansão em
. Como
, temos
Logo
Multiplico por
para obter
:
Agora substituo
termo a termo:
Simplificando os
quando possível:
Passo 5
Mostrei explicitamente que o primeiro termo é
que é exatamente a energia cinética newtoniana — portanto, a fórmula relativística reduz-se à fórmula clássica para
. Agora calcule a razão entre o segundo termo e o primeiro termo para medir sua importância relativa:
Isso mostra que o segundo termo é menor que o primeiro por um fator da ordem de
. Por exemplo, se
então
e a razão é
, ou seja, uma correção de cerca de
.
Passo 6
Interpretação física do segundo termo: ele é o primeiro termo de correção relativística à energia cinética clássica — ou seja, o ajuste que aparece porque a relação entre energia, massa e velocidade não é quadrática simples quando as velocidades se aproximam de
. Esse termo positivo (
) indica que a energia cinética real é um pouco maior do que a predita por
quando
aumenta. Fisicamente, reflete efeitos como aumento efetivo da “inércia” conforme a velocidade cresce (às vezes descrito informalmente como aumento de massa relativística) e as consequências da dilatação temporal/energia da teoria da relatividade. Em termos práticos, para velocidades típicas muito menores que
esse segundo termo é desprezível; à medida que
se aproxima de
ele se torna relevante e outros termos de ordem superior também passam a importar.
Resposta
(a)
.
(b) , portanto o primeiro termo recupera
.
(c) O segundo termo é a primeira correção relativística à energia cinética clássica: é positivo, pequeno quando
(escala como
) e representa o aumento da energia real devido a efeitos relativísticos (aumento efetivo da inércia/diferenças na relação energia‑velocidade).
(b)
(c) O segundo termo