Contexto: A equação virial de estado escreve a pressão como série de potências da densidade molar \rho: \frac{P}{R T}=\rho+B_{2}(T) \rho^{2}+\ldots
a) Partindo da equação de Van der Waals, considere o volume molar V_{m}=1 / \rho.
b) Use a expansão de Taylor no termo \frac{1}{V_{m-b}} para expressar a equação na forma Virial.
c) Identifique o segundo coeficiente virial B_{2}(T).

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá informações claras. Aqui está o que é pedido e o que temos:
  • O que o enunciado pede:
    1. Usar a equação de Van der Waals com o volume molar \(V_{m}=1/\rho).
    2. Expandir o termo \(\dfrac{1}{V_{m}-b}) por série (expansão de Taylor / série geométrica) e reescrever a equação na forma virial \(\dfrac{P}{R T}=\rho+B_{2}(T)\rho^{2}+\ldots).
    3. Identificar o segundo coeficiente virial \(B_{2}(T)).
  • Informações dadas (do enunciado e da equação de Van der Waals):
    1. Equação de Van der Waals (para uma substância pura, em forma molar):
    P=\frac{R T}{V_{m}-b}-\frac{a}{V_{m}^{2}}.
    1. Definição do volume molar em função da densidade molar:
    V_{m}=\frac{1}{\rho}.
    1. Forma alvo da série (equação virial):
    \frac{P}{R T}=\rho+B_{2}(T)\rho^{2}+\ldots

Passo 2

Escrevo a equação de Van der Waals na forma normalizada por R T, pois a expansão virial é dada para \(\dfrac{P}{R T}). Dividindo a equação por R T obtemos:
\frac{P}{R T}=\frac{1}{V_{m}-b}-\frac{a}{R T\,V_{m}^{2}}.
Aqui já está explícito o termo que preciso expandir, \(\dfrac{1}{V_{m}-b}), e o segundo termo será facilmente convertido em potências de \rho usando \(V_{m}=1/\rho).

Passo 3

Vou desenvolver a expansão do termo \(\dfrac{1}{V_{m}-b}). A ideia é transformar esse termo numa série em \rho. Primeiro fatoro 1/V_{m} e vejo uma forma geométrica:
\frac{1}{V_{m}-b}=\frac{1}{V_{m}}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{b}{V_{m}}}.
Aqui usei apenas álgebra: dividir numerador e denominador por V_{m}. Agora aplico a expansão em série geométrica (que é um caso de expansão de Taylor) para \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, válida quando \(|x|<1). No nosso caso x=\dfrac{b}{V_{m}}, então a condição de validade é
\left|\frac{b}{V_{m}}\right|<1 \quad\text{ou}\quad b\,\rho<1,
o que corresponde fisicamente ao regime de baixas densidades (útil para o virial).

Passo 4

Substituo a série geométrica no passo anterior. Começando de
\frac{1}{V_{m}-b}=\frac{1}{V_{m}}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{b}{V_{m}}\right)^{n},
e lembrando que \(V_{m}=1/\rho), temos \(\dfrac{b}{V_{m}}=b\rho) e \(\dfrac{1}{V_{m}}=\rho). Portanto:
\frac{1}{V_{m}-b}=\rho\sum_{n=0}^{\infty}(b\rho)^{n}=\rho + b\rho^{2}+b^{2}\rho^{3}+\cdots.
Essa é a expansão em potências de \rho do primeiro termo da Van der Waals.

Passo 5

Agora volto à expressão de \dfrac{P}{R T} do Passo 2 e substituo a série obtida no Passo 4, além de reescrever o segundo termo em potências de \rho. Lembro que \(V_{m}^{2}=(1/\rho)^{2}=\rho^{-2}), então
\frac{a}{R T\,V_{m}^{2}}=\frac{a}{R T}\rho^{2}.
Substituindo na expressão principal:
\frac{P}{R T}=\bigl(\rho + b\rho^{2}+b^{2}\rho^{3}+\cdots\bigr)-\frac{a}{R T}\rho^{2}.
Agrupando termos por potências de \rho e mantendo até ordem \rho^{2} (suficiente para identificar B_{2}(T)):
\frac{P}{R T}=\rho+\Bigl(b-\frac{a}{R T}\Bigr)\rho^{2}+O(\rho^{3}).

Passo 6

Na forma virial pedida,
\frac{P}{R T}=\rho+B_{2}(T)\rho^{2}+\ldots,
o coeficiente B_{2}(T) é simplesmente o coeficiente que multiplica \rho^{2} na expansão que acabamos de obter. Portanto:
B_{2}(T)=b-\frac{a}{R T}.
A validade dessa expressão requer b\rho<1 (regime de baixa densidade), condição sob a qual a série geométrica usada converge. Observação física rápida: o termo b provém do volume excluído (contribuição positiva), enquanto o termo -a/(R T) vem das atrações intermoleculares (contribuição negativa e dependente da temperatura).

Resposta

\frac{P}{R T}=\rho+\Bigl(b-\frac{a}{R T}\Bigr)\rho^{2}+O(\rho^{3})
B_{2}(T)=b-\frac{a}{R T}

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