Contexto: Em física, a equaçāo do movimento de um pêndulo simples é dada pela equação diferencial não linear:
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{g}{L} \sin (\theta)=0
Para pequenos ângulos, é comum usar a aproximaçāo \sin (\theta) \approx \theta.
a) Escreva a série de Maclaurin para \sin (\theta) até o termo de quinta ordem \left(\theta^{5}\right).
b) Calcule o erro percentual cometido ao usar a aproximaçāo linear ("pequenos ângu \operatorname{los}^{\prime \prime} ) \sin (\theta) \approx \theta para um ângulo de 20^{\circ} (lembre-se de converter para radianos).
c) Explique como o próximo termo da série \left(\frac{-\theta^{3}}{3!}\right) poderia ser usado para melhorar a precisāo do período do pêndulo em oscilações maiores.

Passo 1

O enunciado dá a equação do pêndulo simples
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{L}\sin(\theta)=0
e pede três coisas:
  1. (a) Escrever a série de Maclaurin de \sin(\theta) até o termo de quinta ordem \left(\theta^{5}\right).
  2. (b) Calcular o erro percentual ao usar a aproximação linear \sin(\theta)\approx\theta para \;20^\circ (vou converter para radianos).
  3. (c) Explicar como o próximo termo da série \left(-\theta^{3}/3!\right) pode ser usado para melhorar a precisão do período do pêndulo em oscilações mais amplas.
Informações úteis do enunciado que vou usar sem perguntar nada:
  • Ângulo dado: 20^\circ.
  • Lembrar de converter para radianos antes de usar séries ou calcular seno.
Vamos passo a passo — sem pânico, eu te guio devagarinho.

Passo 2

Derivação da série de Maclaurin de \sin(\theta) até \theta^{5}.
A série de Maclaurin de uma função f(\theta) em torno de \theta=0 é
f(\theta)=f(0)+f'(0)\theta+\frac{f''(0)}{2!}\theta^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}\theta^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}\theta^{4}+\frac{f^{(5)}(0)}{5!}\theta^{5}+\cdots
Aplicando a f(\theta)=\sin(\theta) precisamos das derivadas em 0:
  • \sin(0)=0.
  • \frac{d}{d\theta}\sin(\theta)=\cos(\theta) e \cos(0)=1.
  • \frac{d^{2}}{d\theta^{2}}\sin(\theta)=-\sin(\theta) e -\sin(0)=0.
  • \frac{d^{3}}{d\theta^{3}}\sin(\theta)=-\cos(\theta) e -\cos(0)=-1.
  • \frac{d^{4}}{d\theta^{4}}\sin(\theta)=\sin(\theta) e \sin(0)=0.
  • \frac{d^{5}}{d\theta^{5}}\sin(\theta)=\cos(\theta) e \cos(0)=1.
Substituindo na fórmula da série até a ordem \theta^{5}:
\sin(\theta)=0 + 1\cdot\theta + 0\cdot\frac{\theta^{2}}{2!} + (-1)\cdot\frac{\theta^{3}}{3!} + 0\cdot\frac{\theta^{4}}{4!} + 1\cdot\frac{\theta^{5}}{5!} + \cdots
Logo, até a quinta ordem,
\boxed{\sin(\theta)=\theta - \frac{\theta^{3}}{3!} + \frac{\theta^{5}}{5!} + \mathcal{O}(\theta^{7}).}

Passo 3

Definição do erro percentual que vou usar e por quê.
Vou calcular o erro percentual relativo ao valor exato de \sin(\theta), ou seja,
\text{erro percentual}=\left|\frac{\text{aproximação}-\text{valor exato}}{\text{valor exato}}\right|\times 100\%.çã
Para a aproximação linear \sin(\theta)\approx\theta, a aproximação é \theta e o valor exato é \sin(\theta). Esta definição é a mais comum para medir “quanto estou errando em relação ao valor verdadeiro”.

Passo 4

Converter 20^\circ para radianos.
Conversão:
20^\circ=\frac{20\pi}{180}=\frac{\pi}{9}\\ \text{radianos}.
Valor numérico aproximado (usarei vírgula para decimais):
\frac{\pi}{9}\approx 0,349066\\ \text{(rad)}.

Passo 5

Calcular numericamente \sin(\theta) para \theta=\pi/9 e a aproximação \theta.
Valor exato (numérico, conhecido ou obtido por série/ calculadora):
\sin\!\left(\frac{\pi}{9}\right)\approx 0,342020\\ .
Aproximação linear:
\theta=\frac{\pi}{9}\approx 0,349066\\ .
Diferença absoluta:
\left|\theta-\sin\!\left(\frac{\pi}{9}\right)\right|\approx 0,349066-0,342020=0,007046\\ .

Passo 6

Calcular o erro percentual usando a fórmula do Passo 3.
Colocando os números:
\text{erro percentual}=\left|\frac{0,349066-0,342020}{0,342020}\right|\times 100\%.
Compute:
\text{erro percentual}\approx\frac{0,007046}{0,342020}\times 100\%\approx 2,06\%.
Ou seja, ao usar \sin(\theta)\approx\theta em \theta=20^\circ cometemos aproximadamente 2,06\% de erro relativo.

Passo 7

Como o próximo termo \displaystyle -\frac{\theta^{3}}{3!} pode melhorar a precisão do período do pêndulo (intuição e cálculo aproximado).
  1. Primeiro a intuição física/matemática:
  • Se você substituir \sin(\theta) por \theta-\theta^{3}/6 na equação do movimento, obtém uma equação não linear do tipo
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{L}\theta-\frac{g}{L}\cdot\frac{\theta^{3}}{6}=0.
  • Esse termo em \theta^{3} torna a frequência dependente da amplitude da oscilação: a frequência deixa de ser simplesmente \omega_{0}=\sqrt{g/L} e passa a ter uma correção que depende de \theta_{0} (amplitude máxima).
  1. Cálculo aproximado (método da harmônica fundamental / balanceamento harmônico):
  • Supomos uma solução aproximada de forma \theta(t)\approx A\cos(\omega t), com A a amplitude em radianos.
  • Usamos a identidade \cos^{3}\varphi=\frac{3\cos\varphi+\cos(3\varphi)}{4}. Então o termo \theta^{3} tem, na sua componente de primeira harmônica, contribuição proporcional a A^{3}\cdot\frac{3}{4}\cos(\omega t).
  • Substituindo só a componente fundamental e igualando os termos em \cos(\omega t) obtemos aproximadamente (apenas os termos fundamentais):
-A\omega^{2} + \omega_{0}^{2}A - \omega_{0}^{2}\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{4}A^{3}=0,
onde \omega_{0}^{2}=\dfrac{g}{L}.
  • Simplificando o coeficiente do A^{3}: \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{8}. Assim
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}\left(1-\frac{A^{2}}{8}\right).
  • Tomando raiz para \omega e fazendo expansão para pequeno A:
\omega\approx\omega_{0}\left(1-\frac{A^{2}}{16}\right).
  • O período T=2\pi/\omega então fica, expandindo:
T\approx \frac{2\pi}{\omega_{0}}\left(1+\frac{A^{2}}{16}\right).
  1. Interpretação final e uso prático:
  • A inclusão do termo -\theta^{3}/6 mostra que o período aumenta com a amplitude (a primeira correção é positiva e proporcional a A^{2}).
  • Em palavras simples: ao usar \sin(\theta)\approx\theta-\theta^{3}/6 conseguimos capturar o efeito de “amplitude grande” que aumenta o período; o resultado prático (primeira correção) é
\boxed{T\approx T_{0}\left(1+\frac{A^{2}}{16}\right),\quad T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},\\ \\ A=\text{amplitude (rad)}.}
  • Assim, se você precisa de mais precisão para oscilações maiores (por exemplo \theta_{0}\sim 0,3 rad ou mais), usar \theta-\theta^{3}/6 e aplicar esse tipo de desenvolvimento leva a uma estimativa do período muito melhor do que a fórmula linear T_{0}.

Resposta

(a) \displaystyle \sin(\theta)=\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}+\mathcal{O}(\theta^{7}).
(b) Erro percentual \approx 2,06\%.
(c) Incluindo o termo -\dfrac{\theta^{3}}{3!} a equação vira um oscilador não linear; fazendo um balanceamento harmônico obtém-se uma correção de amplitude ao período, resultando na aproximação \displaystyle T\approx T_{0}\!\left(1+\dfrac{A^{2}}{16}\right) com T_{0}=2\pi\sqrt{L/g} e A a amplitude em radianos.

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