Para pequenos ângulos, é comum usar a aproximaçāo \sin (\theta) \approx \theta.
a) Escreva a série de Maclaurin para \sin (\theta) até o termo de quinta ordem \left(\theta^{5}\right).
b) Calcule o erro percentual cometido ao usar a aproximaçāo linear ("pequenos ângu\operatorname{los}^{\prime \prime} ) \sin (\theta) \approx \theta para um ângulo de 20^{\circ} (lembre-se de converter para radianos).
c) Explique como o próximo termo da série \left(\frac{-\theta^{3}}{3!}\right) poderia ser usado para melhorar a precisāo do período do pêndulo em oscilações maiores.
(a) Escrever a série de Maclaurin de \sin(\theta) até o termo de quinta ordem \left(\theta^{5}\right).
(b) Calcular o erro percentual ao usar a aproximação linear \sin(\theta)\approx\theta para \;20^\circ (vou converter para radianos).
(c) Explicar como o próximo termo da série \left(-\theta^{3}/3!\right) pode ser usado para melhorar a precisão do período do pêndulo em oscilações mais amplas.
Informações úteis do enunciado que vou usar sem perguntar nada:
Ângulo dado: 20^\circ.
Lembrar de converter para radianos antes de usar séries ou calcular seno.
Vamos passo a passo — sem pânico, eu te guio devagarinho.
Passo 2
Derivação da série de Maclaurin de \sin(\theta) até \theta^{5}.
A série de Maclaurin de uma função f(\theta) em torno de \theta=0 é
Para a aproximação linear \sin(\theta)\approx\theta, a aproximação é \theta e o valor exato é \sin(\theta). Esta definição é a mais comum para medir “quanto estou errando em relação ao valor verdadeiro”.
Esse termo em \theta^{3} torna a frequência dependente da amplitude da oscilação: a frequência deixa de ser simplesmente \omega_{0}=\sqrt{g/L} e passa a ter uma correção que depende de \theta_{0} (amplitude máxima).
Cálculo aproximado (método da harmônica fundamental / balanceamento harmônico):
Supomos uma solução aproximada de forma \theta(t)\approx A\cos(\omega t), com A a amplitude em radianos.
Usamos a identidade \cos^{3}\varphi=\frac{3\cos\varphi+\cos(3\varphi)}{4}. Então o termo \theta^{3} tem, na sua componente de primeira harmônica, contribuição proporcional a A^{3}\cdot\frac{3}{4}\cos(\omega t).
Substituindo só a componente fundamental e igualando os termos em \cos(\omega t) obtemos aproximadamente (apenas os termos fundamentais):
A inclusão do termo -\theta^{3}/6 mostra que o período aumenta com a amplitude (a primeira correção é positiva e proporcional a A^{2}).
Em palavras simples: ao usar \sin(\theta)\approx\theta-\theta^{3}/6 conseguimos capturar o efeito de “amplitude grande” que aumenta o período; o resultado prático (primeira correção) é
Assim, se você precisa de mais precisão para oscilações maiores (por exemplo \theta_{0}\sim 0,3 rad ou mais), usar \theta-\theta^{3}/6 e aplicar esse tipo de desenvolvimento leva a uma estimativa do período muito melhor do que a fórmula linear T_{0}.
Resposta
(a) \displaystyle \sin(\theta)=\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}+\mathcal{O}(\theta^{7}).
(b) Erro percentual \approx 2,06\%.
(c) Incluindo o termo -\dfrac{\theta^{3}}{3!} a equação vira um oscilador não linear; fazendo um balanceamento harmônico obtém-se uma correção de amplitude ao período, resultando na aproximação \displaystyle T\approx T_{0}\!\left(1+\dfrac{A^{2}}{16}\right) com T_{0}=2\pi\sqrt{L/g} e A a amplitude em radianos.