Contexto: O montante com juros compostos continuamente é A=\mathrm{Pe}^{\mathrm{rt}}.
a) Expanda e^{\text {rt }} em uma série de Maclaurin até o termo de segunda ordem.
b) Se a taxa r for baixa (ex: 5 \% ) e o tempo t curto ( 1 ano), compare o cálculo exato com a aproximação linear A \approx P(1+r t). O que essa aproximaçāo representa (juros simples)?

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do montante com juros compostos continuamente:
A = Pe^{rt}.
Pede duas coisas:
  1. (a) Expandir e^{rt} em série de Maclaurin até o termo de segunda ordem.
  2. (b) Para uma taxa baixa ( r próxima de 5\%, isto é \,r=0{,}05) e tempo curto ( t=1 ano), comparar o cálculo exato com a aproximação linear A\approx P(1+rt) e explicar o que essa aproximação representa (juros simples).
    Informações relevantes listadas:
  • Fórmula exata: A=Pe^{rt}.
  • Valores exemplares: r=0{,}05 e t=1.
  • A aproximação proposta: A\approx P(1+rt).

Passo 2

O que é uma série de Maclaurin (explicação didática)?
  • A série de Maclaurin de uma função f(x) é a sua expansão em potências de x centrada em x=0. A fórmula geral é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0, e n! (fatorial de n) é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
  • Intuição simples: a série aproxima f(x) por soma de potências de x; o termo de ordem n tem tamanho proporcional a x^n. Para x pequeno, termos de ordem maior (como x^3,x^4,\dots) ficam muito pequenos e podem ser desprezados para uma boa aproximação.

Passo 3

Aplicando Maclaurin a f(x)=e^{x}:
  • Todas as derivadas de e^{x} são e^{x}, logo em x=0 temos f^{(n)}(0)=1 para todo n.
  • Portanto a série de Maclaurin é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots.
  • Até o termo de segunda ordem (ou seja, tomando n=0,1,2) obtemos a aproximação truncada
e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Substituindo x=rt na série (explicação passo a passo):
  • Troque x por rt na expressão de e^{x}. Assim
e^{rt}\approx 1+rt+\frac{(rt)^{2}}{2}.
  • Multiplicando por P para voltar ao montante:
A=Pe^{rt}\approx P\left(1+rt+\frac{(rt)^{2}}{2}\right).
Isto responde a parte (a): a expansão até a segunda ordem é exatamente essa.

Passo 5

Aproximação linear e sua interpretação (didática):
  • A aproximação linear é truncar a série depois do primeiro termo em x, ou seja:
e^{rt}\approx 1+rt \quad\Rightarrow\quad A\approx P(1+rt).
  • Por que isso corresponde a juros simples?
    • Juros simples calcula os juros apenas sobre o capital inicial P, não sobre juros acumulados. O juro simples ganho em tempo t é Prt. Assim o montante com juros simples é
    A_{\text{simples}}=P+Prt=P(1+rt).
    • Portanto a aproximação linear A\approx P(1+rt) é exatamente a fórmula de juros simples: estamos ignorando o efeito de “juros sobre juros” (os termos quadráticos e superiores na série).

Passo 6

Comparação numérica concreta para r=0{,}05 e t=1 (mostrando como calcular sem misterioso “calcular e pronto”):
  • Use a série para avaliar e^{0{,}05}. Somando alguns termos:
e^{0{,}05}=1+0{,}05+\frac{0{,}05^{2}}{2!}+\frac{0{,}05^{3}}{3!}+\frac{0{,}05^{4}}{4!}+\cdots.
Calcule os primeiros termos (cada passo explicado):
  • 1
  • 0{,}05
  • \dfrac{0{,}05^{2}}{2}=\dfrac{0{,}0025}{2}=0{,}00125
  • \dfrac{0{,}05^{3}}{6}=\dfrac{0{,}000125}{6}\approx 0{,}0000208333
  • \dfrac{0{,}05^{4}}{24}=\dfrac{6{,}25\cdot10^{-6}}{24}\approx 0{,}0000002604
    Somando esses quatro termos já damos uma boa aproximação:
e^{0{,}05}\approx 1+0{,}05+0{,}00125+0{,}0000208333+0{,}0000002604\approx 1{,}0512710937\\ (\text{arred. }1{,}051271096).
  • Comparações:
    • Exato: A=Pe^{0{,}05}\approx P\cdot 1{,}051271096.
    • Aproximação linear (juros simples): A\approx P(1+0{,}05)=P\cdot 1{,}05.
    • Aproximação de segunda ordem que encontramos em (a): A\approx P\left(1+0{,}05+\frac{0{,}05^{2}}{2}\right)=P\cdot 1{,}05125.
  • Erros numéricos (tomando P=1000 só para ver unidades):
    • Exato: A\approx 1000\cdot 1{,}051271096\approx 1051{,}27.
    • Linear: A\approx 1000\cdot 1{,}05=1050. Diferença ≈ 1{,}271096 (ou 0{,}127\% do principal).
    • Segunda ordem: A\approx 1000\cdot 1{,}05125=1051{,}25. Diferença para o exato ≈ 0{,}021096 (muito pequena).
  • Observação clara: a diferença entre a aproximação linear e o valor exato é pequena quando rt é pequeno; o termo quadrático \dfrac{(rt)^{2}}{2} dá a maior parte dessa correção (aqui \dfrac{0{,}05^{2}}{2}=0{,}00125, que é aproximadamente a diferença que vimos).

Passo 7

Resumo conceitual final e dica prática para a prova (tom amigável):
  • Resumindo: a série mostra que
A=Pe^{rt}=P\left(1+rt+\frac{(rt)^{2}}{2}+\cdots\right).
  • Truncar após rt (ou seja, usar A\approx P(1+rt)) é equivalente a usar juros simples: é uma aproximação rápida, válida quando rt é pequeno.
  • Se quiser uma aproximação um pouco melhor sem muita conta, inclua o termo quadrático \dfrac{P(rt)^{2}}{2}; já reduz muito o erro (como vimos no exemplo r=0{,}05,\\ t=1).
  • Dica prática: na prova, se te pedirem um valor aproximado para juros contínuos com taxa e tempo pequenos, dá para usar 1+rt para estimativa rápida e mencionar que a correção principal é \dfrac{(rt)^{2}}{2}.

Resposta

a) A \approx P\left(1 + rt + \dfrac{(rt)^{2}}{2}\right).
b) Para r=0{,}05 e t=1: exato A=Pe^{0{,}05}\approx P(1{,}051271096); aproximação linear A\approx P(1+0{,}05)=P(1{,}05). A aproximação linear representa juros simples (não inclui o efeito de “juros sobre juros”); a correção principal devido ao composto é \dfrac{P(rt)^{2}}{2}.

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