Contexto: O montante com juros compostos continuamente é
.
a) Expanda
em uma série de Maclaurin até o termo de segunda ordem.
b) Se a taxa
for baixa (ex:
) e o tempo
curto ( 1 ano), compare o cálculo exato com a aproximação linear
. O que essa aproximaçāo representa (juros simples)?
a) Expanda
b) Se a taxa
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do montante com juros compostos continuamente:
Pede duas coisas:
- (a) Expandir
em série de Maclaurin até o termo de segunda ordem. - (b) Para uma taxa baixa (
próxima de , isto é ) e tempo curto ( ano), comparar o cálculo exato com a aproximação linear e explicar o que essa aproximação representa (juros simples).
Informações relevantes listadas:
- Fórmula exata:
. - Valores exemplares:
e . - A aproximação proposta:
.
Passo 2
O que é uma série de Maclaurin (explicação didática)?
- A série de Maclaurin de uma função
é a sua expansão em potências de centrada em . A fórmula geral é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
(fatorial de
) é o produto
.
- Intuição simples: a série aproxima
por soma de potências de ; o termo de ordem tem tamanho proporcional a . Para pequeno, termos de ordem maior (como ) ficam muito pequenos e podem ser desprezados para uma boa aproximação.
Passo 3
Aplicando Maclaurin a
:
- Todas as derivadas de
são , logo em temos para todo . - Portanto a série de Maclaurin é
- Até o termo de segunda ordem (ou seja, tomando
) obtemos a aproximação truncada
Passo 4
Substituindo
na série (explicação passo a passo):
- Troque
por na expressão de . Assim
- Multiplicando por
para voltar ao montante:
Isto responde a parte (a): a expansão até a segunda ordem é exatamente essa.
Passo 5
Aproximação linear e sua interpretação (didática):
- A aproximação linear é truncar a série depois do primeiro termo em
, ou seja:
- Por que isso corresponde a juros simples?
- Juros simples calcula os juros apenas sobre o capital inicial
, não sobre juros acumulados. O juro simples ganho em tempo é . Assim o montante com juros simples é
- Portanto a aproximação linear
é exatamente a fórmula de juros simples: estamos ignorando o efeito de “juros sobre juros” (os termos quadráticos e superiores na série).
- Juros simples calcula os juros apenas sobre o capital inicial
Passo 6
Comparação numérica concreta para
e
(mostrando como calcular sem misterioso “calcular e pronto”):
- Use a série para avaliar
. Somando alguns termos:
Calcule os primeiros termos (cada passo explicado):
-
-
-
-
-
Somando esses quatro termos já damos uma boa aproximação:
- Comparações:
- Exato:
. - Aproximação linear (juros simples):
. - Aproximação de segunda ordem que encontramos em (a):
.
- Exato:
- Erros numéricos (tomando
só para ver unidades): - Exato:
. - Linear:
. Diferença ≈ (ou do principal). - Segunda ordem:
. Diferença para o exato ≈ (muito pequena).
- Exato:
- Observação clara: a diferença entre a aproximação linear e o valor exato é pequena quando
é pequeno; o termo quadrático dá a maior parte dessa correção (aqui , que é aproximadamente a diferença que vimos).
Passo 7
Resumo conceitual final e dica prática para a prova (tom amigável):
- Resumindo: a série mostra que
- Truncar após
(ou seja, usar ) é equivalente a usar juros simples: é uma aproximação rápida, válida quando é pequeno. - Se quiser uma aproximação um pouco melhor sem muita conta, inclua o termo quadrático
; já reduz muito o erro (como vimos no exemplo ). - Dica prática: na prova, se te pedirem um valor aproximado para juros contínuos com taxa e tempo pequenos, dá para usar
para estimativa rápida e mencionar que a correção principal é .
Resposta
a)
.
b) Para e
: exato
; aproximação linear
. A aproximação linear representa juros simples (não inclui o efeito de “juros sobre juros”); a correção principal devido ao composto é
.
b) Para