Contexto: O preço P de um título sensível à taxa de juros i pode ser modelado por P(i)=\frac{f}{i}.
a) Desenvolva a Série de Taylor de primeira ordem para P(i) centrada na taxa atual i_{0}.
b) Explique como a primeira derivada (Duration) e a segunda derivada (Convexity) são usadas na gestão de risco de carteiras (Aproximaçāo Delta-Gamma).

Passo 1

O enunciado dá a relação entre preço e taxa: P(i)=\dfrac{f}{i}. Ele pede duas coisas:
  1. (a) Desenvolver a Série de Taylor de primeira ordem para P(i) centrada em i_{0}.
  2. (b) Explicar como a primeira derivada (Duration) e a segunda derivada (Convexity) são usadas na gestão de risco de carteiras (aproximação Delta–Gamma).
    Informações relevantes fornecidas: a expressão funcional P(i)=\dfrac{f}{i} e o ponto de expansão i_{0}. Nada mais foi pedido explicitamente.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a Série de Taylor de primeira ordem. Para uma função diferenciável g(x) centrada em x_{0}, a aproximação de primeira ordem (linear) é
g(x)\approx g(x_{0})+g'(x_{0})\,(x-x_{0}).
Isto significa: calcular o valor no ponto de expansão g(x_{0}) e somar a contribuição linear dada pela derivada em x_{0} vezes a variação (x-x_{0}). Essa é a coisa que normalmente chamamos de aproximação “delta” (term linear).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 à nossa função P(i)=\dfrac{f}{i}. Primeiro calculamos P(i_{0}):
P(i_{0})=\frac{f}{i_{0}}.
Expliquei: basta substituir i=i_{0} na expressão original.

Passo 4

Calculamos a primeira derivada de P em relação a i. Use regra de potência ou derivada de f\cdot i^{-1}:
P'(i)=\frac{d}{di}\left(\frac{f}{i}\right)=\frac{d}{di}\big(f\cdot i^{-1}\big)=f\cdot(-1)i^{-2}=-\frac{f}{i^{2}}.
Isto é a “sensibilidade” linear do preço à taxa: para variações pequenas de i, P muda aproximadamente na razão P'(i).

Passo 5

Agora avaliamos a derivada no ponto i_{0}:
P'(i_{0})=-\frac{f}{i_{0}^{2}}.
Substituir i=i_{0} é só colocar o valor de referência na expressão do passo anterior.

Passo 6

Montamos a Série de Taylor de primeira ordem (expansão linear) em torno de i_{0}. Pelo Passo 2:
P(i)\approx P(i_{0})+P'(i_{0})\,(i-i_{0}).
Substituindo os valores dos Passos 3 e 5,
P(i)\approx \frac{f}{i_{0}}-\frac{f}{i_{0}^{2}}(i-i_{0}).
Esta é a resposta formal para o item (a): uma expressão pronta para usar na prova.

Passo 7

Agora vamos ensinar o que são Duration e Convexity e como aparecem aqui. Primeiro a segunda derivada (vai ser útil depois):
P''(i)=\frac{d}{di}\left(-\frac{f}{i^{2}}\right)=-f\cdot(-2)i^{-3}=\frac{2f}{i^{3}}.
Esta é a curvatura da função preço em relação à taxa.

Passo 8

Definições financeiras práticas (como você pode escrever numa prova):
  • Modified duration (ou simplesmente “duration” em muitos contextos) costuma ser definida por
D_{\text{mod}}=-\frac{1}{P}\frac{dP}{di}.
Isto mede a sensibilidade relativa (em termos percentuais) do preço a pequenas variações da taxa. Para a nossa função, usando P(i)=\dfrac{f}{i} e P'(i)=-\dfrac{f}{i^{2}}:
D_{\text{mod}}=-\frac{1}{f/i}\left(-\frac{f}{i^{2}}\right)=\frac{1}{i}.
Portanto, para este modelo simples, a duration modificada vale 1/i (sem unidades).

Passo 9

  • Convexity (medida comum usada) pode ser definida como
\mathcal{C}=\frac{1}{P}\frac{d^{2}P}{di^{2}}.
Para nossa função, com P''(i)=\dfrac{2f}{i^{3}} e P(i)=\dfrac{f}{i}, obtemos
\mathcal{C}=\frac{1}{f/i}\cdot\frac{2f}{i^{3}}=\frac{2}{i^{2}}.
Então a convexidade (normalizada) vale \dfrac{2}{i^{2}} neste caso.

Passo 10

Agora explico o uso prático na gestão de risco: aproximação Delta–Gamma (ou Delta–Convexity para taxa). A variação do preço para uma pequena mudança \Delta i pode ser aproximada por Taylor até segunda ordem:
\Delta P \approx P'(i_{0})\,\Delta i+\tfrac{1}{2}P''(i_{0})\,(\Delta i)^{2}.
Em termos normalizados por P e usando duration e convexity:
\Delta P \approx -P\,D_{\text{mod}}\,\Delta i+\tfrac{1}{2}P\,\mathcal{C}\,(\Delta i)^{2}.
Interpretação:
  • O termo linear (com D_{\text{mod}}) é o “delta” — captura a sensibilidade imediata do preço à variação da taxa. Na gestão de risco, igualar (ou controlar) esse termo entre ativos e passivos é a ideia básica de hedging por duration (imunização frente a pequenas mudanças).
  • O termo quadrático (com \mathcal{C}) é o “gamma” ou convexidade — captura curvatura: como a sensibilidade muda quando a taxa varia mais. Se houver uma grande mudança de taxa, o termo quadrático pode ser relevante; por isso gestores ajustam posições (por exemplo usando títulos com convexidades diferentes ou derivativos) para corrigir desvios que a duração sozinha não ajusta.

Passo 11

Exemplo numérico rápido (para você ver na prática, sem calculadora complicada): escolha f=100, i_{0}=0,05 (5%) e uma queda \Delta i=-0,01 (queda de 1 p.p. para 0,04).
  • P(i_{0})=\dfrac{100}{0,05}=2000.
  • P'(i_{0})=-\dfrac{100}{0,05^{2}}=-40000.
  • P''(i_{0})=\dfrac{2\cdot100}{0,05^{3}}=1{,}6\times10^{6}.
    Aproximações:
  • Linear: \Delta P\approx P'(i_{0})\Delta i=-40000\cdot(-0,01)=400\Rightarrow P\approx2400.
  • Linear+Quadrático: \Delta P\approx400+\tfrac{1}{2}\cdot1{,}6\times10^{6}\cdot(0,01)^{2}=400+80=480\Rightarrow P\approx2480.
    Valor exato: P(0,04)=\dfrac{100}{0,04}=2500. Note que incluir o termo quadrático aproxima bem melhor o valor exato; a duration (termo linear) sozinho subestima a alta do preço quando a taxa cai.

Passo 12

Dicas de prova (práticas, rápidas e úteis):
  • Para (a) mostre sempre P(i_{0}), calcule P'(i), avalie em i_{0} e aplique a fórmula de Taylor de primeira ordem — escreva a expressão simplificada final.
  • Para (b) escreva as fórmulas de D_{\text{mod}} e \mathcal{C} e a aproximação Delta–Gamma; comente qualitativamente: duration para hedging linear, convexity para corrigir curvatura e melhorar aproximação quando as variações de taxa não são infinitesimais.
  • Se pedirem numericamente, use o pequeno exemplo do Passo 11 como template.

Resposta

(a) \displaystyle P(i)\approx \frac{f}{i_{0}}-\frac{f}{i_{0}^{2}}(i-i_{0})\n
(b) A primeira derivada serve como “delta”/duration: P'(i)=-\dfrac{f}{i^{2}} e D_{\text{mod}}=-\dfrac{1}{P}P'(i)=\dfrac{1}{i}. A segunda derivada serve como “gamma”/convexity: P''(i)=\dfrac{2f}{i^{3}} e \mathcal{C}=\dfrac{1}{P}P''(i)=\dfrac{2}{i^{2}}. Na prática usa‑se a aproximação Delta–Gamma \displaystyle \Delta P\approx P'(i_{0})\Delta i+\tfrac{1}{2}P''(i_{0})(\Delta i)^{2} (ou \Delta P\approx -P D_{\text{mod}}\Delta i+\tfrac{1}{2}P\mathcal{C}(\Delta i)^{2}); duration é usada para hedge linear e convexity corrige a curvatura quando as variações de taxa são maiores.

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