Contexto:
preço
de um título sensível à taxa de juros i pode ser modelado por
.
a) Desenvolva a Série de Taylor de primeira ordem para
centrada na taxa atual
.
b) Explique como a primeira derivada (Duration) e a segunda derivada (Convexity) são usadas na gestão de risco de carteiras (Aproximaçāo Delta-Gamma).
a) Desenvolva a Série de Taylor de primeira ordem para
b) Explique como a primeira derivada (Duration) e a segunda derivada (Convexity) são usadas na gestão de risco de carteiras (Aproximaçāo Delta-Gamma).
Passo 1
O enunciado dá a relação entre preço e taxa:
. Ele pede duas coisas:
- (a) Desenvolver a Série de Taylor de primeira ordem para
centrada em . - (b) Explicar como a primeira derivada (Duration) e a segunda derivada (Convexity) são usadas na gestão de risco de carteiras (aproximação Delta–Gamma).
Informações relevantes fornecidas: a expressão funcionale o ponto de expansão . Nada mais foi pedido explicitamente.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a Série de Taylor de primeira ordem. Para uma função diferenciável
centrada em
, a aproximação de primeira ordem (linear) é
Isto significa: calcular o valor no ponto de expansão
e somar a contribuição linear dada pela derivada em
vezes a variação
. Essa é a coisa que normalmente chamamos de aproximação “delta” (term linear).
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 à nossa função
. Primeiro calculamos
:
Expliquei: basta substituir
na expressão original.
Passo 4
Calculamos a primeira derivada de
em relação a
. Use regra de potência ou derivada de
:
Isto é a “sensibilidade” linear do preço à taxa: para variações pequenas de
,
muda aproximadamente na razão
.
Passo 5
Agora avaliamos a derivada no ponto
:
Substituir
é só colocar o valor de referência na expressão do passo anterior.
Passo 6
Montamos a Série de Taylor de primeira ordem (expansão linear) em torno de
. Pelo Passo 2:
Substituindo os valores dos Passos 3 e 5,
Esta é a resposta formal para o item (a): uma expressão pronta para usar na prova.
Passo 7
Agora vamos ensinar o que são Duration e Convexity e como aparecem aqui. Primeiro a segunda derivada (vai ser útil depois):
Esta é a curvatura da função preço em relação à taxa.
Passo 8
Definições financeiras práticas (como você pode escrever numa prova):
- Modified duration (ou simplesmente “duration” em muitos contextos) costuma ser definida por
Isto mede a sensibilidade relativa (em termos percentuais) do preço a pequenas variações da taxa. Para a nossa função, usando
e
:
Portanto, para este modelo simples, a duration modificada vale
(sem unidades).
Passo 9
- Convexity (medida comum usada) pode ser definida como
Para nossa função, com
e
, obtemos
Então a convexidade (normalizada) vale
neste caso.
Passo 10
Agora explico o uso prático na gestão de risco: aproximação Delta–Gamma (ou Delta–Convexity para taxa). A variação do preço para uma pequena mudança
pode ser aproximada por Taylor até segunda ordem:
Em termos normalizados por
e usando duration e convexity:
Interpretação:
- O termo linear (com
) é o “delta” — captura a sensibilidade imediata do preço à variação da taxa. Na gestão de risco, igualar (ou controlar) esse termo entre ativos e passivos é a ideia básica de hedging por duration (imunização frente a pequenas mudanças). - O termo quadrático (com
) é o “gamma” ou convexidade — captura curvatura: como a sensibilidade muda quando a taxa varia mais. Se houver uma grande mudança de taxa, o termo quadrático pode ser relevante; por isso gestores ajustam posições (por exemplo usando títulos com convexidades diferentes ou derivativos) para corrigir desvios que a duração sozinha não ajusta.
Passo 11
Exemplo numérico rápido (para você ver na prática, sem calculadora complicada): escolha
,
(5%) e uma queda
(queda de 1 p.p. para
).
-
. -
. -
.
Aproximações: - Linear:
. - Linear+Quadrático:
.
Valor exato:. Note que incluir o termo quadrático aproxima bem melhor o valor exato; a duration (termo linear) sozinho subestima a alta do preço quando a taxa cai.
Passo 12
Dicas de prova (práticas, rápidas e úteis):
- Para (a) mostre sempre
, calcule , avalie em e aplique a fórmula de Taylor de primeira ordem — escreva a expressão simplificada final. - Para (b) escreva as fórmulas de
e e a aproximação Delta–Gamma; comente qualitativamente: duration para hedging linear, convexity para corrigir curvatura e melhorar aproximação quando as variações de taxa não são infinitesimais. - Se pedirem numericamente, use o pequeno exemplo do Passo 11 como template.
Resposta
(a)
\n
(b) A primeira derivada serve como “delta”/duration: e
. A segunda derivada serve como “gamma”/convexity:
e
. Na prática usa‑se a aproximação Delta–Gamma
(ou
); duration é usada para hedge linear e convexity corrige a curvatura quando as variações de taxa são maiores.
(b) A primeira derivada serve como “delta”/duration: