Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obtendo-se os resultados abaixo:
08 11 08 12 14 13 11 14 14 05 06 10
14 13 06 12 07 05 08 08 10 16 10 12
12 08 11 06 07 12 07 10 14 05 12 07
09 12 11 09 14 08 14 08 12 10 12 13
07 15
a) Construa uma distribuição de freqüência adequada;
b) Represente a distribuição graficamente;
c) Calcule o número médio de erros de impressão por primeira página;
d) Calcule a mediana;
e) Determine a moda.
R.:a) Tabela: Número de erros de impressão da primeira página do jornal.

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas sobre os dados (número de erros da primeira página em 50 dias):
  • (a) construir uma distribuição de frequência adequada;
  • (b) representar graficamente essa distribuição;
  • (c) calcular o número médio (média) de erros por página;
  • (d) calcular a mediana;
  • (e) determinar a moda.
As informações que recebemos (peguei os dados da tabela do enunciado) são os 50 valores abaixo (ordem original):
08,11,08,12,14,13,11,14,14,05,06,10,14,13,06,12,07,05,08,08,10,16,10,12,12,08,11,06,07,12,07,10,14,05,12,07,09,12,11,09,14,08,14,08,12,10,12,13,07,15
Resumo de quantidades: n=50 observações.

Passo 2

Construindo a tabela de frequência passo a passo (contagem explícita porque os dados são inteiros e o conjunto é pequeno):
  • Primeiro listamos os valores possíveis observados: 5,6,7,\dots,16.
  • Em seguida contamos quantas vezes cada valor aparece (frequência absoluta f).
  • Calculamos a frequência relativa p=\dfrac{f}{n}.
  • Calculamos a frequência acumulada F (soma das frequências absolutas até aquele valor).
Contagem (mostro a operação mental de contagem por blocos e somei para conferir): obtive as seguintes frequências absolutas:
\begin{array}{c|c} \text{valor }x & f \\\ \hline 5 & 3\\\\ 6 & 3\\\\ 7 & 5\\\\ 8 & 7\\\\ 9 & 2\\\\ 10 & 5\\\\ 11 & 4\\\\ 12 & 9\\\\ 13 & 3\\\\ 14 & 7\\\\ 15 & 1\\\\ 16 & 1 \end{array}
Confirmei que \sum f = 50.
Agora calculo as frequências relativas e acumuladas. A frequência relativa é p=\dfrac{f}{50}. Calculando cada uma:
\begin{array}{c|c|c|c} x & f & p=\dfrac{f}{50} & F \\\ \hline 5 & 3 & 0,06 & 3 \\\\ 6 & 3 & 0,06 & 6 \\\\ 7 & 5 & 0,10 & 11 \\\\ 8 & 7 & 0,14 & 18 \\\\ 9 & 2 & 0,04 & 20 \\\\ 10 & 5 & 0,10 & 25 \\\\ 11 & 4 & 0,08 & 29 \\\\ 12 & 9 & 0,18 & 38 \\\\ 13 & 3 & 0,06 & 41 \\\\ 14 & 7 & 0,14 & 48 \\\\ 15 & 1 & 0,02 & 49 \\\\ 16 & 1 & 0,02 & 50 \end{array}
Explicação rápida do conceito usado:
  • Frequência absoluta f = número de observações iguais a um valor.
  • Frequência relativa p = proporção dessas observações no total ( p=f/n); costuma-se expressar com 2 casas decimais.
  • Frequência acumulada F = soma das frequências absolutas até aquele valor; útil para localizar a mediana.

Passo 3

Representação gráfica (como fazer e um desenho simples em texto que você pode desenhar rápido na prova):
Como os dados são valores discretos inteiros com intervalo pequeno, o gráfico mais direto é um histograma de barras (barra vertical para cada x, altura proporcional a f). Instruções para desenhar na prova:
  • No eixo horizontal coloque os valores \;5,6,\dots,16\;.
  • No eixo vertical marque as frequências 0,1,2,\dots,9 (máx f=9).
  • Para cada x desenhe uma barra de altura f.
Para visualizar rápido aqui, apresento um “histograma em texto” com uma estrela por observação (cada ‘*’ = 1 ocorrência):
5: \ast\ast\ast ( 3)
6: \ast\ast\ast ( 3)
7: \ast\ast\ast\ast\ast ( 5)
8: \ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast ( 7)
9: \ast\ast ( 2)
10: \ast\ast\ast\ast\ast ( 5)
11: \ast\ast\ast\ast ( 4)
12: \ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast ( 9)
13: \ast\ast\ast ( 3)
14: \ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast ( 7)
15: \ast ( 1)
16: \ast ( 1)
Dica prática: se precisar do histograma com frequência relativa, use as mesmas barras mas marque alturas com p em vez de f.

Passo 4

Cálculo da média (número médio de erros por página). Fórmula e interpretação:
  • A média amostral é \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
  • Para dados em tabela com frequências usamos \displaystyle \bar{x}=\frac{\sum x\cdot f}{n}, onde x é o valor e f a frequência desse valor.
Calculei \sum x\cdot f multiplicando cada valor pela sua frequência e somando:
\sum x\cdot f = 5\cdot3 + 6\cdot3 + 7\cdot5 + 8\cdot7 + 9\cdot2 + 10\cdot5 + 11\cdot4 + 12\cdot9 + 13\cdot3 + 14\cdot7 + 15\cdot1 + 16\cdot1 = 512.
Portanto
\bar{x}=\frac{512}{50}=10,24.
Explicação didática: a média é o “centro de massa” dos dados; você soma tudo e divide pelo número de observações.

Passo 5

Cálculo da mediana. Conceito e procedimento:
  • A mediana é o valor que divide o conjunto de dados ordenados em duas metades com o mesmo número de observações (ou, para n par, a média dos dois valores centrais).
  • Aqui n=50 é par, então a mediana é a média entre a 25^\text{a} e a 26^\text{a} observações quando os dados estão ordenados.
Usamos a frequência acumulada F para localizar essas posições:
  • A posição 25 está no valor x=10, porque F chega a 25 justamente em x=10.
  • A posição 26 está no próximo valor x=11 (porque F em x=11 é 29).
Logo mediana:
\text{Mediana}=\frac{10+11}{2}=10,5.
Dica rápida: para n par, mediana = média dos valores nas posições n/2 e n/2+1 no conjunto ordenado.

Passo 6

Determinação da moda. Conceito e identificação:
  • Moda = valor com maior frequência absoluta.
  • Observando a tabela de frequências, o maior f é 9 para x=12.
Portanto a distribuição é unimodal e
\text{Moda}=12.

Passo 7

Resumo final (respostas prontas para conferência rápida):
  • a) tabela de frequência (já construída no Passo 2);
  • b) gráfico: histograma de barras conforme Passo 3 (usei a representação em texto com ‘*’ por ocorrência);
  • c) média \bar{x}=10,24;
  • d) mediana 10,5;
  • e) moda 12.
Força aí — com essa tabela e os passos você desenha o histograma, calcula média/mediana/moda rapidinho na prova. Vai dar bom!

Resposta

a)
\begin{array}{c|c|c|c} x & f & p=\dfrac{f}{50} & F \\\ \hline 5 & 3 & 0,06 & 3 \\\\ 6 & 3 & 0,06 & 6 \\\\ 7 & 5 & 0,10 & 11 \\\\ 8 & 7 & 0,14 & 18 \\\\ 9 & 2 & 0,04 & 20 \\\\ 10 & 5 & 0,10 & 25 \\\\ 11 & 4 & 0,08 & 29 \\\\ 12 & 9 & 0,18 & 38 \\\\ 13 & 3 & 0,06 & 41 \\\\ 14 & 7 & 0,14 & 48 \\\\ 15 & 1 & 0,02 & 49 \\\\ 16 & 1 & 0,02 & 50 \end{array}
b) Histograma em texto (uma ‘*’ por ocorrência):
5: \ast\ast\ast ( 3)
6: \ast\ast\ast ( 3)
7: \ast\ast\ast\ast\ast ( 5)
8: \ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast ( 7)
9: \ast\ast ( 2)
10: \ast\ast\ast\ast\ast ( 5)
11: \ast\ast\ast\ast ( 4)
12: \ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast ( 9)
13: \ast\ast\ast ( 3)
14: \ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast ( 7)
15: \ast ( 1)
16: \ast ( 1)
c) \bar{x}=10,24
d) \text{Mediana}=10,5
e) \text{Moda}=12

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