Converta os seguintes números decimais para a base binária:
z=26,35;

Passo 1

O enunciado pede que convertemos o número decimal \,z=26{,}35 para a base binária.\n
Informações dadas:
z = 26{,}35_{10}
ou seja, a parte inteira é \,26 e a parte fracionária é \,0{,}35. A tarefa é escrever z em base 2, ou seja encontrar a representação binária de ambas as partes e juntar o resultado.

Passo 2

Vamos lembrar o procedimento para a parte inteira: dividimos sucessivamente por 2 e anotamos os restos (0 ou 1). Os restos, lidos de baixo para cima (último para o primeiro), dão os dígitos binários da parte inteira. Vou aplicar isso em detalhe para \,26.

Passo 3

Divisões sucessivas de \,26 por 2:
\begin{aligned} 26 \div 2 &= 13\quad\text{resto }0,\\\\ 13 \div 2 &= 6\quad\text{resto }1,\\\\ 6 \div 2 &= 3\quad\text{resto }0,\\\\ 3 \div 2 &= 1\quad\text{resto }1,\\\\ 1 \div 2 &= 0\quad\text{resto }1. \end{aligned}
Agora leio os restos de baixo para cima: 1,1,0,1,0. Portanto
26_{10} = 11010_2.

Passo 4

Agora a parte fracionária \,0{,}35. Dois caminhos: (a) multiplicar por 2 repetidamente e pegar a parte inteira a cada passo (método usual), ou (b) transformar a fração decimal em fração racional e trabalhar com restos. Vou usar o caminho (b) porque \,0{,}35 é \,35/100, que simplifica e ajuda a detectar repetição exata.

Passo 5

Convertemos a parte fracionária para uma fração racional:
0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}.
Assim precisamos encontrar a expansão binária de \,\dfrac{7}{20}. Aplicamos o método da multiplicação por 2, ou equivalentemente seguimos os restos ao multiplicar por 2 sucessivamente. Vou mostrar os passos com os restos (todas as contas são frações com denominador 20 ou equivalentes simplificados):
Começando com r_0=\dfrac{7}{20}.
\begin{aligned} 2r_0 &= \frac{14}{20} = 0 + \frac{14}{20}\quad\Rightarrow\;a_1=0,\; r_1=\frac{14}{20},\\[4pt] 2r_1 &= \frac{28}{20} = 1 + \frac{8}{20}\quad\Rightarrow\;a_2=1,\; r_2=\frac{8}{20}=\frac{2}{5},\\[4pt] 2r_2 &= \frac{4}{5} = 0 + \frac{4}{5}\quad\Rightarrow\;a_3=0,\; r_3=\frac{4}{5},\\[4pt] 2r_3 &= \frac{8}{5} = 1 + \frac{3}{5}\quad\Rightarrow\;a_4=1,\; r_4=\frac{3}{5},\\[4pt] 2r_4 &= \frac{6}{5} = 1 + \frac{1}{5}\quad\Rightarrow\;a_5=1,\; r_5=\frac{1}{5},\\[4pt] 2r_5 &= \frac{2}{5} = 0 + \frac{2}{5}\quad\Rightarrow\;a_6=0,\; r_6=\frac{2}{5}. \end{aligned}]

Passo 6

Observação importante: note que r_6=\dfrac{2}{5} e já tínhamos r_2=\dfrac{2}{5}. Ou seja, o resto repetiu: isso significa que a sequência de bits vai entrar em ciclo a partir de a_3. Portanto os bits fracionários obtidos até agora são
a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 = 0,\,1,\,0,\,1,\,1,\,0.
Como o resto de índice 6 é igual ao resto de índice 2, a partir de a_3 (isto é, dos bits a_3,a_4,a_5,a_6) os quatro dígitos \,0,1,1,0 vão se repetir infinitamente.

Passo 7

Portanto a parte fracionária em binário é
0{,}35_{10} = 0{,}01\,0110\,0110\,0110\ldots_2
ou, usando notação de repetição, a parte fracionária é
0{,}01(0110)_2,
onde o bloco 0110 se repete indefinidamente. Vou fazer uma verificação rápida (útil na prova):
Seja x = 0{,}01(0110)_2. Separe a parte não repetida (dois dígitos) e o bloco repetido (quatro dígitos). A parte não repetida vale
\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.
O valor do primeiro bloco repetido (posicionado após os dois dígitos) é
\frac{0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+0\cdot2^0}{2^6} = \frac{3}{32}
mas a soma infinita dos blocos repetidos é
\frac{3/32}{1-1/2^4} = \frac{3/32}{1-1/16} = \frac{3/32}{15/16} = \frac{1}{10}.
Somando:
x = \frac{1}{4} + \frac{1}{10} = \frac{5}{20} + \frac{2}{20} = \frac{7}{20} = 0{,}35,
confirmando a exatidão.

Passo 8

Agora juntamos a parte inteira e a parte fracionária: a parte inteira deu \,11010_2 e a fracionária deu \,0{,}01(0110)_2. Portanto o número completo em binário é
26{,}35_{10} = 11010{,}01(0110)_2.

Resposta

26{,}35_{10} = 11010{,}01(0110)_2

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