Converta os seguintes números decimais para a base binária:
;
Passo 1
O enunciado pede que convertemos o número decimal
para a base binária.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
ou seja, a parte inteira é
e a parte fracionária é
. A tarefa é escrever
em base 2, ou seja encontrar a representação binária de ambas as partes e juntar o resultado.
Passo 2
Vamos lembrar o procedimento para a parte inteira: dividimos sucessivamente por
e anotamos os restos (0 ou 1). Os restos, lidos de baixo para cima (último para o primeiro), dão os dígitos binários da parte inteira. Vou aplicar isso em detalhe para
.
Passo 3
Divisões sucessivas de
por
:
Agora leio os restos de baixo para cima:
. Portanto
Passo 4
Agora a parte fracionária
. Dois caminhos: (a) multiplicar por
repetidamente e pegar a parte inteira a cada passo (método usual), ou (b) transformar a fração decimal em fração racional e trabalhar com restos. Vou usar o caminho (b) porque
é
, que simplifica e ajuda a detectar repetição exata.
Passo 5
Convertemos a parte fracionária para uma fração racional:
Assim precisamos encontrar a expansão binária de
. Aplicamos o método da multiplicação por
, ou equivalentemente seguimos os restos ao multiplicar por
sucessivamente. Vou mostrar os passos com os restos (todas as contas são frações com denominador
ou equivalentes simplificados):
Começando com
.
Passo 6
Observação importante: note que
e já tínhamos
. Ou seja, o resto repetiu: isso significa que a sequência de bits vai entrar em ciclo a partir de
. Portanto os bits fracionários obtidos até agora são
Como o resto de índice
é igual ao resto de índice
, a partir de
(isto é, dos bits
) os quatro dígitos
vão se repetir infinitamente.
Passo 7
Portanto a parte fracionária em binário é
ou, usando notação de repetição, a parte fracionária é
onde o bloco
se repete indefinidamente. Vou fazer uma verificação rápida (útil na prova):
Seja
. Separe a parte não repetida (dois dígitos) e o bloco repetido (quatro dígitos). A parte não repetida vale
O valor do primeiro bloco repetido (posicionado após os dois dígitos) é
mas a soma infinita dos blocos repetidos é
Somando:
confirmando a exatidão.
Passo 8
Agora juntamos a parte inteira e a parte fracionária: a parte inteira deu
e a fracionária deu
. Portanto o número completo em binário é