Uma corda de 3 m de comprimento, fixa nas duas extremidades, tem uma massa de 6 g . Se você deseja estabelecer uma onda estacionária nesta corda, de frequência igual a 300 Hz e com três antinodos, a que tensão deve submeter a corda?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Comprimento da corda:
. - Massa da corda:
. - Frequência desejada da onda estacionária:
. - Número de antinodos na onda estacionária:
antinodos. - Pergunta: determinar a tensão
a ser aplicada na corda para obter essa configuração.
Passo 2
Entender a relação entre número de antinodos e o modo da corda:
- Numa corda fixa nas duas extremidades, o modo harmônico de ordem
tem exatamente antinodos. - Portanto, ter
antinodos significa que estamos no modo . - A expressão para o comprimento de onda do modo
é:
onde
é o comprimento de onda do modo
,
é o comprimento da corda e
é o número do modo. Explicando por que: a corda suporta
meias-ondas (
) ao longo de
, logo
, daí
.
Passo 3
Calcular o comprimento de onda para
:
Passo 4
Relação entre velocidade de propagação, frequência e comprimento de onda:
onde
é a velocidade da onda na corda,
é a frequência e
é o comprimento de onda.
Substituindo os valores:
Substituindo os valores:
Passo 5
Relação entre velocidade da onda, tensão e densidade linear de massa:
onde
é a tensão (em newtons) e
é a densidade linear de massa da corda (massa por comprimento), dada por
Desse modo, isolando
:
Esta fórmula vem do equilíbrio entre a massa por unidade de comprimento que deve ser acelerada pela tensão que restaura a corda quando a onda passa.
Passo 6
Calcular
e depois
, lembrando de converter a massa para o SI:
- Converter massa:
. - Densidade linear:
- Agora a tensão:
Calcule passo a passo:
Cheque de unidades:
. Está consistente.
Passo 7
Resumo e observação final: com os dados dados (corda de
, massa
,
antinodos e
) a tensão necessária é exatamente
. Dá uma sensação de força grande — é normal: ondas rápidas em cordas leves exigem tensões elevadas. Força extra: confere sempre a conversão de unidades (g → kg) e a fórmula
para modos em corda fixa.