Uma corda de 3 m de comprimento, fixa nas duas extremidades, tem uma massa de 6 g . Se você deseja estabelecer uma onda estacionária nesta corda, de frequência igual a 300 Hz e com três antinodos, a que tensão deve submeter a corda?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Comprimento da corda: L=3\\ \text{m}.
  • Massa da corda: m=6\\ \text{g}.
  • Frequência desejada da onda estacionária: f=300\\ \text{Hz}.
  • Número de antinodos na onda estacionária: 3 antinodos.
  • Pergunta: determinar a tensão T a ser aplicada na corda para obter essa configuração.

Passo 2

Entender a relação entre número de antinodos e o modo da corda:
  • Numa corda fixa nas duas extremidades, o modo harmônico de ordem n tem exatamente n antinodos.
  • Portanto, ter 3 antinodos significa que estamos no modo n=3.
  • A expressão para o comprimento de onda do modo n é:
\lambda_n=\frac{2L}{n},
onde \lambda_n é o comprimento de onda do modo n, L é o comprimento da corda e n é o número do modo. Explicando por que: a corda suporta n meias-ondas ( \tfrac{\lambda}{2}) ao longo de L, logo L=n\cdot\frac{\lambda}{2}, daí \lambda=\frac{2L}{n}.

Passo 3

Calcular o comprimento de onda para n=3:
\lambda=\frac{2L}{3}=\frac{2\cdot 3\\ \text{m}}{3}=2\\ \text{m}.

Passo 4

Relação entre velocidade de propagação, frequência e comprimento de onda:
v=f\lambda,
onde v é a velocidade da onda na corda, f é a frequência e \lambda é o comprimento de onda.
Substituindo os valores:
v=300\\ \text{Hz}\times 2\\ \text{m}=600\\ \text{m/s}.

Passo 5

Relação entre velocidade da onda, tensão e densidade linear de massa:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (em newtons) e \mu é a densidade linear de massa da corda (massa por comprimento), dada por
\mu=\frac{m}{L}.
Desse modo, isolando T:
T=\mu v^{2}.
Esta fórmula vem do equilíbrio entre a massa por unidade de comprimento que deve ser acelerada pela tensão que restaura a corda quando a onda passa.

Passo 6

Calcular \mu e depois T, lembrando de converter a massa para o SI:
  • Converter massa: m=6\\ \text{g}=0{,}006\\ \text{kg}.
  • Densidade linear:
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0{,}006\\ \text{kg}}{3\\ \text{m}}=0{,}002\\ \text{kg/m}.
  • Agora a tensão:
T=\mu v^{2}=0{,}002\\ \text{kg/m}\times(600\\ \text{m/s})^{2}.
Calcule passo a passo:
(600)^{2}=360000,
T=0{,}002\times 360000=720\\ \text{N}.
Cheque de unidades: \text{kg/m}\times(\text{m/s})^{2}=\text{kg m/s}^{2}=\text{N}. Está consistente.

Passo 7

Resumo e observação final: com os dados dados (corda de 3\\ \text{m}, massa 6\\ \text{g}, 3 antinodos e 300\\ \text{Hz}) a tensão necessária é exatamente 720\\ \text{N}. Dá uma sensação de força grande — é normal: ondas rápidas em cordas leves exigem tensões elevadas. Força extra: confere sempre a conversão de unidades (g → kg) e a fórmula \lambda=\tfrac{2L}{n} para modos em corda fixa.

Resposta

720\\ \text{N}

Exercícios relacionados