No corpo ordenado \mathbb{R}, exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:
A=\left\{x \in \mathbb{R} /\left|x^{2}-2\right| \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto
A=\{\,x\in\mathbb{R}\mid |x^{2}-2|\leq 1\,\}.
A tarefa é expressar A como união de intervalos reais.

Passo 2

Primeiro, lembrar uma propriedade básica do valor absoluto: para qualquer número real u e qualquer a\ge 0,
|u|\le a \quad\Longleftrightarrow\quad -a\le u\le a.
Aqui podemos aplicar com u=x^{2}-2 e a=1. Portanto a condição |x^{2}-2|\le 1 é equivalente à desigualdade em cadeia
-1\le x^{2}-2\le 1.

Passo 3

Agora somamos 2 a todos os termos da desigualdade em cadeia (somar o mesmo número a todas as partes preserva as relações) e obtemos
1\le x^{2}\le 3.
Então x deve satisfazer simultaneamente x^{2}\ge 1 e x^{2}\le 3.

Passo 4

Resolver cada uma dessas desigualdades por separado.
  • Para x^{2}\le 3: isso é equivalente a |x|\le \sqrt{3}, ou seja
x\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}].
  • Para x^{2}\ge 1: isso é equivalente a |x|\ge 1, o que dá
x\in (-\infty,-1]\cup[1,\infty).
(Explicando rapidamente: x^{2}\ge1 significa que a distância de x a 0 é pelo menos 1, logo |x|\ge1.)

Passo 5

Como as duas condições devem valer ao mesmo tempo, tomamos a interseção dos conjuntos encontrados:
A=\bigl((-\infty,-1]\cup[1,\infty)\bigr)\cap[-\sqrt{3},\sqrt{3}].
Intersecionando parte a parte obtemos os dois pedaços
(-\infty,-1]\cap[-\sqrt{3},\sqrt{3}]=[-\sqrt{3},-1]
e
[1,\infty)\cap[-\sqrt{3},\sqrt{3}]=[1,\sqrt{3}].
Portanto
A=[-\sqrt{3},-1]\cup[1,\sqrt{3}].

Passo 6

Verificação rápida dos extremos (para ficar tranquilo na prova): para x=1 e x=\sqrt{3} tem-se
|1^{2}-2|=1\le1,\qquad |(\sqrt{3})^{2}-2|=|3-2|=1\le1,
logo os extremos estão incluídos; pontos como x=0 não satisfazem porque |0-2|=2>1. Tudo consistente.

Resposta

A=[-\sqrt{3},-1]\cup[1,\sqrt{3}]

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