No corpo ordenado
, exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que se pede é escrever
como união (reunião) de intervalos da reta. As informações relevantes são apenas a expressão dentro da condição: a soma de dois valores absolutos envolvendo os pontos
e
, e a constante
. Não há mais dados externos.
Passo 2
Estratégia e ideia didática: a função valor absoluto muda de expressão conforme o sinal da quantidade dentro. Os pontos críticos aqui são [x=-3) e
, porque em torno deles cada termo
troca de fórmula. Logo, vamos estudar a desigualdade por partes: para
, para
e para
.
Lembrete sobre valor absoluto: para qualquer número real
,
Isto é tudo que precisamos para transformar
em expressões sem barras.
Uma intuição geométrica rápida (útil na prova):
é a soma das distâncias do ponto
até
e até
. Pedir que essa soma seja menor que
significa procurar pontos na reta cujo total dessas duas distâncias seja menor que
.]
Passo 3
Caso 1:
.
Aqui
e
. Então
Somando,
A desigualdade fica
Dividindo por
(e lembrando que a desigualdade inverte),
Mas estamos no caso
, então combinando as duas condições obtemos
ou seja, o intervalo
é a porção de solução nesse caso.
Passo 4
Caso 2:
.
Aqui
e
. Então
Somando,
A desigualdade passa a ser
que é verdadeira para todo
desse intervalo. Portanto toda a faixa
pertence a
. Note que, como a desigualdade é estrita, devemos verificar os extremos: para
o valor é
, e
, portanto os pontos
e
estão incluídos.
Passo 5
Caso 3:
.
Aqui
e
. Logo
e
A desigualdade torna-se
Combinando com
obtemos
ou seja, o intervalo
.
Passo 6
Juntando as partes obtidas nos três casos temos a união
Essa união simplifica-se:
. Verificação dos extremos: para
tem-se
, que não satisfaz a desigualdade estrita, então
ficam excluídos. Portanto o conjunto final é o intervalo aberto
.
Dica rápida para a prova: dividir em regiões pelos zeros dos argumentos dos valores absolutos é uma receita padrão; calcular em cada região significa eliminar as barras e resolver desigualdades lineares simples.