No corpo ordenado \mathbb{R}, exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:
B=\{x \in \mathbb{R} /|x-3|+|x+3|<8\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
B=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-3|+|x+3|<8\}.
O que se pede é escrever B como união (reunião) de intervalos da reta. As informações relevantes são apenas a expressão dentro da condição: a soma de dois valores absolutos envolvendo os pontos 3 e -3, e a constante 8. Não há mais dados externos.

Passo 2

Estratégia e ideia didática: a função valor absoluto muda de expressão conforme o sinal da quantidade dentro. Os pontos críticos aqui são [x=-3) e x=3, porque em torno deles cada termo |x\pm3| troca de fórmula. Logo, vamos estudar a desigualdade por partes: para x<-3, para -3\le x\le 3 e para x>3.
Lembrete sobre valor absoluto: para qualquer número real y,
|y|=\begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Isto é tudo que precisamos para transformar |x-3|\] e \(|x+3| em expressões sem barras.
Uma intuição geométrica rápida (útil na prova): |x-3|+|x+3| é a soma das distâncias do ponto x até 3 e até -3. Pedir que essa soma seja menor que 8 significa procurar pontos na reta cujo total dessas duas distâncias seja menor que 8.]

Passo 3

Caso 1: x<-3.
Aqui x-3<0 e x+3<0. Então
|x-3| = -(x-3) = -x+3,\qquad |x+3|=-(x+3)=-x-3.
Somando,
|x-3|+|x+3| = (-x+3)+(-x-3) = -2x.
A desigualdade fica
-2x<8.
Dividindo por -2 (e lembrando que a desigualdade inverte),
x>-4.
Mas estamos no caso x<-3, então combinando as duas condições obtemos
-4<x<-3,
ou seja, o intervalo (-4,-3) é a porção de solução nesse caso.

Passo 4

Caso 2: -3\le x\le 3.
Aqui x+3\ge0 e x-3\le0. Então
|x+3|=x+3,\qquad |x-3|=3-x.
Somando,
|x-3|+|x+3|=(3-x)+(x+3)=6.
A desigualdade passa a ser
6<8,
que é verdadeira para todo x desse intervalo. Portanto toda a faixa [-3,3] pertence a B. Note que, como a desigualdade é estrita, devemos verificar os extremos: para x=\pm3 o valor é 6, e 6<8, portanto os pontos -3 e 3 estão incluídos.

Passo 5

Caso 3: x>3.
Aqui x-3>0 e x+3>0. Logo
|x-3|=x-3,\qquad |x+3|=x+3,
e
|x-3|+|x+3|=(x-3)+(x+3)=2x.
A desigualdade torna-se
2x<8 \quad\Rightarrow\quad x<4.
Combinando com x>3 obtemos
3<x<4,
ou seja, o intervalo (3,4).

Passo 6

Juntando as partes obtidas nos três casos temos a união
B = (-4,-3)\\ \cup\\ [-3,3]\\ \cup\\ (3,4).
Essa união simplifica-se: (-4,-3)\cup[-3,3)\cup\{3\}\cup(3,4) = (-4,4). Verificação dos extremos: para x=\pm4 tem-se |\pm4-3|+|\pm4+3|=8, que não satisfaz a desigualdade estrita, então \pm4 ficam excluídos. Portanto o conjunto final é o intervalo aberto (-4,4).
Dica rápida para a prova: dividir em regiões pelos zeros dos argumentos dos valores absolutos é uma receita padrão; calcular em cada região significa eliminar as barras e resolver desigualdades lineares simples.

Resposta

B=(-4,4)

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