Em um cristal ionico utilizado como substrato isolante em um modulo eletrônico, dois ions idênticos, muito próximos entre si, apresentam repulsão eletrostática mensurável. A distancia entre os centros dos ions é 3,00 \times 10^{\wedge}(-10) \mathrm{m}, e o modulo da força elétrica entre eles é 1,03 \times 10^{\wedge}(-8) N. Determine a carga elétrica de cada ion e o numero de elétrons em falta de cada um.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei estes valores do enunciado):
  • Distância entre os centros dos íons: r = 3,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Módulo da força elétrica de repulsão entre eles: F = 1,03\times10^{-8}\\ \mathrm{N}.
  • Pergunta 1: determinar a carga elétrica de cada íon (assume-se íons idênticos).
  • Pergunta 2: determinar o número de elétrons em falta (isto é, quantos elétrons faltam para cada íon ter carga neutra).

Passo 2

Vamos usar a lei de Coulomb, que descreve a força elétrica entre duas cargas puntiformes. A fórmula é:
F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2},
onde:
  • F é o módulo da força elétrica entre as cargas (em newtons, \mathrm{N});
  • k é a constante eletrostática do meio (no vácuo k \approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}});
  • q_1 e q_2 são as cargas (em coulombs, \mathrm{C});
  • r é a distância entre as cargas (em metros, \mathrm{m}).
Como os íons são idênticos, q_1=q_2=q. Assim a fórmula fica:
F = k\,\frac{q^2}{r^2}.
Esta relação permite isolar q.

Passo 3

Isolando q da equação de Coulomb:
q^2 = \frac{F\,r^2}{k},
q = \sqrt{\frac{F\,r^2}{k}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • F é o valor dado da força ( 1,03\times10^{-8}\\ \mathrm{N});
  • r é a distância dada ( 3,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m});
  • k é a constante eletrostática que vamos tomar como k = 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos passo a passo os termos numéricos (todos os números escritos em TeX):
Calcular r^2:
r^2 = \left(3,00\times10^{-10}\right)^2 = 9,00\times10^{-20}\\ \mathrm{m^2}.
Calcular o produto F\,r^2:
F\,r^2 = \left(1,03\times10^{-8}\right)\left(9,00\times10^{-20}\right) = 9,27\times10^{-28}\\ \mathrm{N\cdot m^2}.
Dividir por k:
\frac{F\,r^2}{k} = \frac{9,27\times10^{-28}}{8,99\times10^{9}} \approx 1,031\times10^{-37}\\ \mathrm{C^2}.
Tomar a raiz quadrada para obter q:
q = \sqrt{1,031\times10^{-37}} \approx 3,21\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Comentário sobre o sinal: o enunciado fala em repulsão e em “elétrons em falta”, portanto trata-se de íons positivos (carga positiva). Então a carga de cada íon é q \approx +3,21\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Agora determinamos o número de elétrons em falta. A carga elementar (carga de um elétron) é
e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
O número de cargas elementares correspondentes a q é
n = \frac{q}{e} = \frac{3,21\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}} \approx 2,00.
Interpretando: n deve ser um número inteiro (não faz sentido físico ter fração de elétron). Assim cada íon tem falta de 2 elétrons (ou seja, carga equivalente a +2e).

Passo 6

Resumo interpretativo e incentivo rápido: cada íon carrega aproximadamente +3,21\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, que corresponde a uma deficiência de 2 elétrons — portanto são íons dupla-positivos ( +2). Bom trabalho por encarar isso; você já sabe aplicar a lei de Coulomb e transformar carga em número de elétrons — isso aparece muito em provas!

Resposta

q = +3,21\times10^{-19}\\ \mathrm{C}
2\\ \text{elétrons}é

Exercícios relacionados