Dada
:
a) Determine o domínio maximal de
.
b) Calcule
e
.
c) Calcule
.
d) Calcule
sendo
, usando a regra do produto para produto escalar.
a) Determine o domínio maximal de
b) Calcule
c) Calcule
d) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede quatro coisas:
a) determinar o domínio maximal de ;
b) calcular e
;
c) calcular ;
d) calcular com
, usando a regra do produto para produto escalar.
a) determinar o domínio maximal de
b) calcular
c) calcular
d) calcular
Informações dadas que vamos usar:
- Os três componentes de
são , e . - A função
é .
Passo 2
Encontrar o domínio maximal significa achar todos os valores de
para os quais todas as componentes de
estão definidas simultaneamente.
- A componente
está definida para todo . - A componente
exige que o argumento seja positivo: , isto é . - A componente
está definida para todo .
O domínio maximal é a interseção desses domínios, portanto
Explicação curta: o log limita
a ser maior que
; as outras componentes não restringem mais.
Passo 3
Vamos calcular
. Regra que usamos: a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
então
Aplicando isso:
- Derivada de
é . - Derivada de
. Regra: (porque e aqui tem ).
Então. - Derivada de
é .
Portanto
válido para
(mesmo domínio porque
exige
, e o log também).
Passo 4
Agora
: derivamos novamente componente a componente a partir de
.
- Derivada de
é . - Derivada de
. Podemos escrever e usar a regra do poder: . - Derivada de
é .
Logo
também para
.
Passo 5
Para calcular
usamos que a integral de uma função vetorial é a integral componente a componente:
Vamos calcular cada integral separadamente, com passos detalhados.
Passo 6
Primeira componente:
Segunda componente,
. Usamos integração por partes. Escolhemos:
Então
e
. A fórmula da integração por partes é
Aplicando:
Simplificamos o integrando
. Observe que
Então
Voltando:
Agora avaliamos de
a
:
Em
:
.
Em :
pois
.
Portanto
Em
Portanto
Terceira componente:
Passo 7
Juntando as três componentes, obtemos
Passo 8
Parte (d): calcular
com
, usando a regra do produto para produto escalar.
Primeiro explico a regra: o produto escalar é
. Derivando termo a termo,
Essa é a regra do produto para o produto escalar (é consequência direta da linearidade e da regra do produto escala a escala).
Agora calculamos componentes necessárias.
Já temos
.
Derivada de
:
Calculamos os dois produtos escalares e somamos.
Cálculo de
:
Simplificando termo a termo:
Cálculo de
:
Simplificando:
Somando os dois resultados:
Agrupando termos semelhantes:
- Termos em
: . - Termos em
: . - Termo em
: . - Sobram
e .
Portanto a derivada fica
válida para
(por causa de
e
).
Resposta
a)
b)
c)
d)