(a) Dada a matriz A=\left[\begin{array}{lll}0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], verifique que A^{3} é a matriz nula.
(b) Mostre que se B é uma matriz de ordem n tal que B^{3}=[0], então I+B+B^{2} é a matriz inversa de I-B. [Dica: multiplique estas matrizes].
(c) Use o item (b) para obter a inversa da matriz I-A, sendo A a matriz dada no item (a).
(d) Mostre que se N é uma matriz quadrada de ordem n tal que N^{k}=[0] para k \geq 2, então a matriz I-N é inversível e sua inversa é dada por (I-N)^{-1}=I+N+N^{2}+\ldots+N^{k-1}. (Matrizes quadradas tais que N^{k}=[0] para algum inteiro positivo k são chamadas matrizes Nilpotentes. O menor valor de k satisfazendo a condição anterior é chamado de índice ou grau de N ).
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas, todas sobre matrizes e inversibilidade. Vou listar claramente o que é dado e o que cada item pergunta.
Perguntas:
(a) Verificar que \,A^{3} é a matriz nula (ou seja, [0], a matriz 3\times3 com todos os elementos zero).
(b) Mostrar que, se B é uma matriz n\times n tal que B^{3}=[0], então \,I+B+B^{2} é a inversa de I-B. A dica é multiplicar as matrizes.
(c) Usar (b) para obter a inversa de I-A, usando a matriz A do item (a).
(d) Mostrar o enunciado geral: se N é quadrada de ordem n e existe k\ge 2 tal que N^{k}=[0], então I-N é inversível e(I-N)^{-1}=I+N+N^{2}+\cdots+N^{k-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Em (a) só preciso calcular potências de A.
Em (b) e (d) a ideia indicada é usar multiplicação e a relação B^{3}=[0] (ou N^{k}=[0]).
Em (c) posso aplicar (b) porque, se em (a) eu mostrar A^{3}=[0], então a hipótese de (b) se aplica com B=A.]
Passo 2
(a) Vamos calcular \,A^{2} e \,A^{3} passo a passo. Primeiro relembre como multiplicar matrizes: o elemento na linha i e coluna j do produto XY é a soma dos produtos dos elementos da linha i de X pelos elementos da coluna j de Y.
Calcule \,A^{2}=A\cdot A. Escrevo as multiplicações linha por coluna:
Linha 1 de A é (0,4,1).
Coluna 1 de A é (0,0,0)^{T}. Então o elemento (1,1) de A^{2} vale 0\cdot0+4\cdot0+1\cdot0=0.
Coluna 2 de A é (4,0,0)^{T}. Então o elemento (1,2) vale 0\cdot4+4\cdot0+1\cdot0=0.
Coluna 3 de A é (1,2,0)^{T}. Então o elemento (1,3) vale 0\cdot1+4\cdot2+1\cdot0=8.
Agora a segunda linha de A é (0,0,2).
Com a coluna 1: 0\cdot0+0\cdot0+2\cdot0=0.
Coluna 2: 0\cdot4+0\cdot0+2\cdot0=0.
Coluna 3: 0\cdot1+0\cdot2+2\cdot0=0.
A terceira linha de A é (0,0,0), logo multiplica-se tudo por zero e dá todas entradas zero nessa linha.
Comentário didático rápido: aqui deu certo porque A é estritamente triangular superior (zeros na diagonal e abaixo), e para uma matriz 3\times3 estritamente triangular superior sempre vale A^{3}=[0]. Mas o cálculo direto acima já prova o item.]
Passo 3
(b) Queremos mostrar que, se B^{3}=[0], então I+B+B^{2} é a inversa de I-B. A definição prática de inversa: uma matriz X é inversa de Y se XY=YX=I. Vamos multiplicar explicitamente e ver que dá a identidade.
Calcule o produto à esquerda:
(I-B)(I+B+B^{2}).
Usamos a distributividade da multiplicação de matrizes (idem ao que fazemos com polinômios): primeiro expandimos
Pela hipótese B^{3}=[0], obtemos (I-B)(I+B+B^{2})=I.
Podemos também checar o produto à direita (para garantir que é inversa tanto à esquerda quanto à direita):
(I+B+B^{2})(I-B) = I - B^{3},
a mesma expansão vale (pois a multiplicação é associativa e as potências de B comutam entre si), e novamente isso dá I. Assim I+B+B^{2} é de fato a inversa de I-B.
Didática: a identidade algébrica usada é a mesma de uma soma geométrica finita truncada:
(1-x)(1+x+x^{2})=1-x^{3},
aqui substituímos x por B. A razão pela qual isso funciona para matrizes é que podemos multiplicar polinômios em B e as potências de B se comportam conforme a multiplicação matricial.
Passo 4
(c) Agora aplicamos (b) a A. Pelo Passo 2 já sabemos que A^{3}=[0]. Então, pela propriedade do item (b),
(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}.
Vamos calcular explicitamente essa soma usando I, A e A^{2}. A identidade 3\times3 é
Para ter certeza: podemos verificar rapidamente multiplicando (I-A) por essa matriz e ver que dá I. Mas, como aplicada a hipótese de (b) e calculada corretamente, essa é a inversa procurada.]
Passo 5
(d) Agora o enunciado geral. Seja N quadrada n\times n e suponha que existe um inteiro k\ge 2 com N^{k}=[0]. Defina a soma finita
S:=I+N+N^{2}+\cdots+N^{k-1}.
Multiplicando:
(I-N)S = I\cdot S - N\cdot S = S - (N+N^{2}+\cdots+N^{k}).
Observe que S contém I+N+N^{2}+\cdots+N^{k-1}, então subtraindo N\cdot S (que é N+N^{2}+\cdots+N^{k}) cancela todos os termos salvo I e produz
(I-N)S = I - N^{k}.
Pela hipótese N^{k}=[0], obtemos (I-N)S=I.
Analogamente,
S(I-N)=I-N^{k}=I,
pois a mesma expansão pela direita funciona (as potências de N comutam entre si e a distribuição vale). Portanto S é inversa de I-N, isto é,
(I-N)^{-1}=I+N+N^{2}+\cdots+N^{k-1}.
Conclusão didática: esta é uma versão matricial da fórmula da soma geométrica finita. A existência de k tal que N^{k}=[0] (ou seja, N nilpotente) garante que a soma termina e dá a inversa de I-N. Por isso toda matriz nilpotente tem a propriedade de que I menos ela é invertível, com inversa dada pela soma das potências até k-1.