1. Uma dada seção de uma viga apresenta as seguintes propriedades geométricas em seu centroide \mathrm{Ix}=11,2 * 10^{8} \mathrm{~mm}^{4}, \mathrm{Ix}=6,7 * 10^{8} \mathrm{~mm}^{4} e \mathrm{Ixy}=3,5 * 10^{8} \mathrm{~mm}^{4}. Com base nisso determine:
    a) Os momentos de inércia em eixos que estejam rotacionados em \mathbf{10}^{\circ} com relação aos eixos em que estes valores foram referenciados. ( 2,0 pts.)

Passo 1

O enunciado fornece os momentos de inércia referidos ao centroide (eixos originais) e pede os momentos de inércia quando os eixos forem rotacionados em 10^\circ. Os dados fornecidos (notei que o enunciado repetiu \mathrm{Ix}; interpretei o segundo como \mathrm{Iy}) são:
  • \displaystyle I_x = 11{,}2\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
  • \displaystyle I_y = 6{,}7\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
  • \displaystyle I_{xy} = 3{,}5\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
O que se pede:
  • Calcular os valores de \displaystyle I_x',\\ I_y' e \displaystyle I_{x'y'} correspondentes aos eixos rotacionados de \displaystyle 10^\circ em relação aos eixos originais.

Passo 2

Fórmulas de transformação de momentos de inércia (rotacionando os eixos originais por um ângulo \theta; aqui o novo eixo x' é obtido girando o eixo antigo em \theta):
I_{x'}=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos(2\theta)-I_{xy}\sin(2\theta)
I_{y'}=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cos(2\theta)+I_{xy}\sin(2\theta)
I_{x'y'}=\frac{I_x-I_y}{2}\sin(2\theta)+I_{xy}\cos(2\theta)
Explicando cada termo de forma simples:
  • \displaystyle \frac{I_x+I_y}{2} é a média dos dois momentos originais; aparece porque parte do momento se redistribui entre os eixos após rotação.
  • \displaystyle \frac{I_x-I_y}{2}\cos(2\theta) ajusta essa média segundo a diferença entre I_x e I_y; o fator \cos(2\theta) mostra que a variação tem período de 90^\circ (duas vezes \theta).
  • \displaystyle I_{xy}\sin(2\theta) e \displaystyle I_{xy}\cos(2\theta) representam como o produto de inércia participa na rotação (ele “mistura” com os momentos normais).
  • \displaystyle I_{x'y'} é o produto de inércia no novo sistema; ele também depende de \sin(2\theta) e \cos(2\theta).

Passo 3

Calcular os termos auxiliares numéricos (vou calcular com precisão suficiente para a prova):
Somatório e média:
I_x+I_y = \left(11{,}2+6{,}7\right)\times10^{8} = 17{,}9\times10^{8} = 1{,}79\times10^{9}\\ \mathrm{mm}^4
\frac{I_x+I_y}{2} = 8{,}95\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
Meia diferença:
\frac{I_x-I_y}{2} = \frac{11{,}2-6{,}7}{2}\times10^{8} = \frac{4{,}5}{2}\times10^{8} = 2{,}25\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
ângulo duplo e funções trigonométricas (ângulo pedido \theta=10^\circ, então usa-se 2\theta=20^\circ). Valores trigonométricos usados:
\cos(20^\circ)\approx0{,}93969262,\qquad \sin(20^\circ)\approx0{,}34202014
Agora os produtos necessários:
\left(\frac{I_x-I_y}{2}\right)\cos(2\theta) = 2{,}25\times10^{8}\times0{,}93969262 \approx 2{,}114758395\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
I_{xy}\sin(2\theta) = 3{,}5\times10^{8}\times0{,}34202014 \approx 1{,}19707049\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
\left(\frac{I_x-I_y}{2}\right)\sin(2\theta) = 2{,}25\times10^{8}\times0{,}34202014 \approx 0{,}769545315\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
I_{xy}\cos(2\theta) = 3{,}5\times10^{8}\times0{,}93969262 \approx 3{,}28892317\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
(Observação: mantive os fatores em notação \times10^{8} para facilitar a soma/subtração mental ou no papel.)

Passo 4

Calcular I_{x'} substituindo os termos:
I_{x'}=\frac{I_x+I_y}{2}+\left(\frac{I_x-I_y}{2}\right)\cos(2\theta)-I_{xy}\sin(2\theta)
Substituindo numericamente:
I_{x'}=8{,}95\times10^{8}+2{,}114758395\times10^{8}-1{,}19707049\times10^{8}
Somando:
I_{x'}\approx\left(8{,}95+2{,}114758395-1{,}19707049\right)\times10^{8}
I_{x'}\approx9{,}867687905\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
Arredondando com sentido prático (duas ou três casas significativas relevantes para projeto):
I_{x'}\approx9{,}868\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4

Passo 5

Calcular I_{y'}:
I_{y'}=\frac{I_x+I_y}{2}-\left(\frac{I_x-I_y}{2}\right)\cos(2\theta)+I_{xy}\sin(2\theta)
Substituindo:
I_{y'}=8{,}95\times10^{8}-2{,}114758395\times10^{8}+1{,}19707049\times10^{8}
I_{y'}\approx\left(8{,}95-2{,}114758395+1{,}19707049\right)\times10^{8}
I_{y'}\approx8{,}032312095\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
Arredondando:
I_{y'}\approx8{,}032\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4

Passo 6

Calcular I_{x'y'}:
I_{x'y'}=\left(\frac{I_x-I_y}{2}\right)\sin(2\theta)+I_{xy}\cos(2\theta)
Substituindo:
I_{x'y'}=0{,}769545315\times10^{8}+3{,}28892317\times10^{8}
I_{x'y'}\approx4{,}058468485\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
Arredondando:
I_{x'y'}\approx4{,}058\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4

Passo 7

Verificação rápida (cheque útil em prova): a soma dos momentos permanece a mesma:
I_{x'}+I_{y'}\approx9{,}867687905\times10^{8}+8{,}032312095\times10^{8}=1{,}79\times10^{9}=I_x+I_y,
logo a conservação numérica confere (bom sinal de que os cálculos foram consistentes).

Resposta

\displaystyle I_{x'}\approx9{,}867687905\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
\displaystyle I_{y'}\approx8{,}032312095\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4
\displaystyle I_{x'y'}\approx4{,}058468485\times10^{8}\\ \mathrm{mm}^4

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