- Uma dada seção de uma viga apresenta as seguintes propriedades geométricas em seu centroide
e
. Com base nisso determine:
a) Os momentos de inércia em eixos que estejam rotacionados em
com relação aos eixos em que estes valores foram referenciados. ( 2,0 pts.)
a) Os momentos de inércia em eixos que estejam rotacionados em
Passo 1
O enunciado fornece os momentos de inércia referidos ao centroide (eixos originais) e pede os momentos de inércia quando os eixos forem rotacionados em
. Os dados fornecidos (notei que o enunciado repetiu
; interpretei o segundo como
) são:
O que se pede:
- Calcular os valores de
e correspondentes aos eixos rotacionados de em relação aos eixos originais.
Passo 2
Fórmulas de transformação de momentos de inércia (rotacionando os eixos originais por um ângulo
; aqui o novo eixo
é obtido girando o eixo antigo em
):
Explicando cada termo de forma simples:
-
é a média dos dois momentos originais; aparece porque parte do momento se redistribui entre os eixos após rotação. -
ajusta essa média segundo a diferença entre e ; o fator mostra que a variação tem período de (duas vezes ). -
e representam como o produto de inércia participa na rotação (ele “mistura” com os momentos normais). -
é o produto de inércia no novo sistema; ele também depende de e .
Passo 3
Calcular os termos auxiliares numéricos (vou calcular com precisão suficiente para a prova):
Somatório e média:
Meia diferença:
ângulo duplo e funções trigonométricas (ângulo pedido
, então usa-se
). Valores trigonométricos usados:
Agora os produtos necessários:
(Observação: mantive os fatores em notação
para facilitar a soma/subtração mental ou no papel.)
Passo 4
Calcular
substituindo os termos:
Substituindo numericamente:
Somando:
Arredondando com sentido prático (duas ou três casas significativas relevantes para projeto):
Passo 5
Calcular
:
Substituindo:
Arredondando:
Passo 6
Calcular
:
Substituindo:
Arredondando:
Passo 7
Verificação rápida (cheque útil em prova): a soma dos momentos permanece a mesma:
logo a conservação numérica confere (bom sinal de que os cálculos foram consistentes).