Determine \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau.
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com pares (x,y) e pede para determinar \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau. Dados fornecidos (extraídos da tabela):
\text{Encontrar }\alpha\text{ tal que }y(\alpha)=0,
\text{e encontrar }\beta=y(5).
Passo 2
Modelo geral de um polinômio do segundo grau: seja
y(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são constantes desconhecidas. Explico: a controla a curvatura (se abre para cima ou para baixo), b e c deslocam o gráfico; para determinar a,b,c precisamos de três pontos conhecidos. Aqui temos três pontos com coordenadas conhecidas: (1,9), (3,1) e (6,4). Esses três pontos dão um sistema de três equações obtidas substituindo x e y no modelo.
Passo 3
Escrevo as três equações substituindo cada ponto em y=ax^{2}+bx+c:
a\cdot1^{2}+b\cdot1+c=9,
a\cdot3^{2}+b\cdot3+c=1,
a\cdot6^{2}+b\cdot6+c=4.
Simplificando cada uma:
a+b+c=9,
9a+3b+c=1,
36a+6b+c=4.
Passo 4
Para resolver fique mais fácil eliminar c subtraindo a primeira equação das outras duas:
Subtraindo a primeira da segunda:
(9a+3b+c)-(a+b+c)=1-9 \implies 8a+2b=-8.
Dividindo por 2:
4a+b=-4. \tag{1}
Subtraindo a segunda da terceira:
(36a+6b+c)-(9a+3b+c)=4-1 \implies 27a+3b=3.
Dividindo por 3:
9a+b=1. \tag{2}
Passo 5
Agora resolvo o sistema linear em a e b formado por (1) e (2):
4a+b=-4,
9a+b=1.
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar b:
(9a+b)-(4a+b)=1-(-4)\implies 5a=5 \implies a=1.
Substituindo a=1 em 4a+b=-4:
4\cdot1+b=-4 \implies b=-8.
Passo 6
Agora encontro c usando a primeira equação a+b+c=9:
1+(-8)+c=9 \implies -7+c=9 \implies c=16.
Portanto o polinômio é
y(x)=x^{2}-8x+16.
Observação didática: dá para notar que x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}, então o polinômio tem uma raiz dupla em x=4.
Passo 7
Determinar \alpha sabendo que y(\alpha)=0. Resolvemos
\alpha^{2}-8\alpha+16=0.
Como o polinômio é (x-4)^{2}, a equação é
(\alpha-4)^{2}=0 \implies \alpha=4.
Explicação rápida: uma raiz dupla significa que a única solução é \alpha=4.
Passo 8
Determinar \beta=y(5). Substituo x=5 no polinômio:
\beta = 5^{2}-8\cdot5+16 = 25-40+16 = 1.
Também faz sentido pelo formato (x-4)^{2}: (5-4)^{2}=1.