Dada a transformação
T(x, y, z)=(x+y, y+z, z)
obtenha a matriz associada na base canônica e discuta se a transformação é invertível.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;z).
O que se pede:
  • Obter a matriz associada a T na base canônica de \mathbb{R}^3.
  • Discutir se T é invertível (ou seja, se existe uma transformação linear T^{-1} tal que T^{-1}\circ T=\mathrm{Id}).
Informações relevantes fornecidas:
  • A transformação está explícita nas coordenadas (x,y,z).
  • A base canônica de \mathbb{R}^3 é formada por e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1).
  • Para obter a matriz na base canônica, basta computar T(e_1),T(e_2),T(e_3) e colocar essas imagens como colunas.

Passo 2

Por que a ideia de usar T(e_i) funciona? Porque T é linear, então para um vetor qualquer (x,y,z)=x e_1+y e_2+z e_3 vale
T(x,y,z)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3).
Assim, se escrevermos a matriz A de T na base canônica, as colunas de A são exatamente as coordenadas de T(e_1),T(e_2),T(e_3) em relação à base canônica.

Passo 3

Calcular as imagens das bases canônicas explicitamente.
Para e_1=(1,0,0):
T(1,0,0)=(1+0,\;0+0,\;0)=(1,0,0).
Para e_2=(0,1,0):
T(0,1,0)=(0+1,\;1+0,\;0)=(1,1,0).
Para e_3=(0,0,1):
T(0,0,1)=(0+0,\;0+1,\;1)=(0,1,1).

Passo 4

Montar a matriz A colocando T(e_1),T(e_2),T(e_3) como colunas, na ordem e_1,e_2,e_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Comentário rápido: é uma matriz triangular superior com 1 na diagonal principal.]

Passo 5

Discutir invertibilidade usando determinante e um argumento direto.
Fato útil (rápido): o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto,
\det(A)=1\cdot 1\cdot 1=1.
Como \det(A)\neq 0, a matriz A é inversível, logo a transformação linear T é invertível. (Equivalência usada: T é invertível se, e somente se, a matriz associada em qualquer base tiver determinante não nulo.)

Passo 6

Para aplicar isso numa prova sem só citar regras, é bom saber obter a inversa explicitamente. Vamos encontrar [A^{-1}) resolvendo A v = e_i para cada coluna da inversa.
Seja v=(a,b,c)^T. A equação A v=(a+b,\;b+c,\;c)^T (produto explícito) é útil porque simplifica cálculos.
  • Para a primeira coluna de A^{-1} resolvemos A v=e_1=(1,0,0)^T:
    \begin{cases} a+b=1,\\[2pt] b+c=0,\\[2pt] c=0. \end{cases}
    De c=0\] vem \[b=0 e então a=1. Logo primeira coluna é (1,0,0)^T.
  • Para a segunda coluna resolvemos A v=e_2=(0,1,0)^T:
    \begin{cases} a+b=0,\\[2pt] b+c=1,\\[2pt] c=0. \end{cases}
    De c=0\] vem \[b=1 e então a=-1. Segunda coluna é (-1,1,0)^T.
  • Para a terceira coluna resolvemos A v=e_3=(0,0,1)^T:
    \begin{cases} a+b=0,\\[2pt] b+c=0,\\[2pt] c=1. \end{cases}
    De c=1\] vem \(b=-1 e então a=1. Terceira coluna é (1,-1,1)^T.]

Passo 7

Reunindo as colunas obtidas, a inversa é
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Pode-se verificar rapidamente que A\,A^{-1}=I, portanto está correta. Observação: para matrizes do tipo A=I+N com N estritamente triangular superior nilpotente, existe uma fórmula concreta para a inversa via soma finita de potências de N; aqui isso levaria ao mesmo resultado \,A^{-1}=I-N+N^2.]

Resposta

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Sim. T é invertível porque \det(A)=1\neq0. A inversa é
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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