Dadas as matrizes aumentadas abaixo, identifique se o método de eliminação Gaussiana ou de Gauss-Jordan foi finalizado. Identifique os pivôs de cada linha e diga quantas variáveis podem ser livres. Determine o conjunto-solução para cada caso. \left[\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\end{array}\right]
e pede: (a) identificar se foi finalizada a eliminação de Gauss (forma escalonada) ou de Gauss–Jordan (forma reduzida por linhas); (b) identificar os pivôs de cada linha; (c) dizer quantas variáveis podem ser livres; (d) determinar o conjunto- solução correspondente. Estas são as informações dadas e as perguntas a responder.
Passo 2
Vamos olhar linha a linha para ver onde aparecem os primeiros elementos não nulos (os candidatos a pivô).
A primeira linha é 1\; 2\; -1\; 2 \mid 3. O primeiro elemento não nulo (da esquerda para a direita) é 1 na primeira coluna. Esse é o pivô da primeira linha.
A segunda linha é 0\; 0\; 1\; -1 \mid 1. O primeiro elemento não nulo é 1 na terceira coluna. Esse é o pivô da segunda linha.
Portanto os pivôs estão nas colunas 1 e 3.
Passo 3
Agora explico rapidamente a diferença entre as duas formas (de forma didática, sem pular etapas):
Forma escalonada (o que chamamos de eliminação de Gauss) exige que cada linha não nula tenha um primeiro elemento não nulo (pivô) à direita do pivô da linha anterior, e que linhas de zeros (se existirem) estejam abaixo. Não exige que os pivôs sejam os únicos elementos não nulos em suas colunas.
Forma reduzida por linhas (RREF, correspondente à eliminação de Gauss–Jordan) exige, além das condições acima, que cada pivô seja igual a 1 e que este 1 seja o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô).
Aplicando isso à nossa matriz: os pivôs são 1 em primeira coluna e 1 em terceira coluna. O pivô da terceira coluna tem acima dele o valor -1 (na primeira linha, terceira coluna), ou seja, a coluna do pivô não é toda zeros exceto pelo pivô. Logo a matriz está em forma escalonada, mas não está em forma reduzida por linhas.
Conclusão: foi finalizada a eliminação de Gauss (forma escalonada), mas não a eliminação de Gauss–Jordan (não está em RREF).
Passo 4
Contagem de variáveis livres: há 4 colunas de incógnitas (colunas correspondentes a \,x_1,x_2,x_3,x_4) e há 2 pivôs (colunas 1 e 3). O número de variáveis livres é
4 - 2 = 2.
As colunas sem pivô são as colunas 2 e 4, portanto as variáveis livres são \,x_2 e \,x_4.
Passo 5
Agora vamos escrever o sistema linear correspondente à matriz aumentada (isso facilita resolver passo a passo). A matriz corresponde ao sistema
Explico: cada linha da matriz dá uma equação; a primeira linha dá coeficientes de \,x_1,x_2,x_3,x_4 iguais a 1,2,-1,2 e termo independente 3; a segunda linha dá coeficientes 0,0,1,-1 e termo 1.]
Passo 6
Resolver a segunda equação, que é mais simples e envolve o pivô da segunda linha:
x_3 - x_4 = 1.
Isolando x_3 obtemos
x_3 = 1 + x_4.
Isto expressa o pivô x_3 em função da variável livre x_4.
Passo 7
Substituímos x_3 = 1 + x_4 na primeira equação para encontrar x_1 em função das variáveis livres:
A primeira equação é
x_1 + 2x_2 - x_3 + 2x_4 = 3.
Substituindo x_3:
x_1 + 2x_2 - (1 + x_4) + 2x_4 = 3.
Vamos simplificar passo a passo:
x_1 + 2x_2 -1 - x_4 + 2x_4 = 3.
Combine os termos em x_4:
x_1 + 2x_2 -1 + x_4 = 3.
Isolando x_1:
x_1 = 3 + 1 - 2x_2 - x_4.
Portanto
x_1 = 4 - 2x_2 - x_4.
Passo 8
Agora parametrize usando parâmetros para as variáveis livres. Seja
x_2 = s,\qquad x_4 = t,
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Então:
Método finalizado: forma escalonada (eliminação de Gauss) — não está em forma reduzida por linhas (não é Gauss–Jordan).
Pivôs: primeira linha pivot em x_1 (coluna 1); segunda linha pivot em x_3 (coluna 3).
Número de variáveis livres: 2 (são x_2 e x_4).
Conjunto-solução: