Dadas as matrizes aumentadas abaixo, identifique se o método de eliminação Gaussiana ou de Gauss-Jordan foi finalizado. Identifique os pivôs de cada linha e diga quantas variáveis podem ser livres. Determine o conjunto-solução para cada caso.
\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right]
e pede:
  1. identificar se o método de eliminação Gaussiana ou de Gauss–Jordan foi finalizado;
  2. identificar os pivôs de cada linha;
  3. dizer quantas variáveis podem ser livres;
  4. determinar o conjunto- solução.
    As informações relevantes são as entradas da matriz aumentada (duas equações, quatro incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4 e os termos do lado direito).

Passo 2

O que significa “finalizado” para cada método (explicação didática, passo a passo):
  • Eliminação Gaussiana (forma escalonada, REF): a matriz está em forma escalonada quando
    1. todas as linhas nulas (se houver) estão abaixo das não nulas;
    2. o primeiro elemento não nulo (entrada principal) de cada linha não nula está à direita do primeiro elemento não nulo da linha acima;
    3. todas as entradas abaixo de um pivô são zero.
      Não é necessário que o pivô seja 1 nem que as entradas acima do pivô sejam zero.
  • Eliminação de Gauss–Jordan (forma reduzida, RREF): além das condições acima, exige-se que
    4. cada pivô seja 1;
    5. em cada coluna de pivô, todas as outras entradas (acima e abaixo) sejam 0 — isto é, o pivô é o único 1 nessa coluna.
Vou usar essas definições para comparar com a matriz dada.

Passo 3

Identificação dos pivôs olhar linha por linha (procedimento que você faria na prova):
  • Na primeira linha \left[1\;2\;0\;1\;\middle|\;4\right] o primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 1. Esse é um candidato a pivô. É igual a 1.
  • Na segunda linha \left[0\;0\;1\;-1\;\middle|\;1\right] o primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 3. Esse também é um pivô (igual a 1).
Agora verifico as condições de RREF (Gauss–Jordan):
  • Coluna do pivô da linha 1 (coluna 1): as entradas nessa coluna são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}. O pivô é 1 e não há outro não-zero na coluna — ok.
  • Coluna do pivô da linha 2 (coluna 3): as entradas nessa coluna são \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}. O pivô é 1 e é o único não-zero naquela coluna — ok.
  • Os pivôs estão à direita um do outro (coluna 1 e depois coluna 3) — ok.
  • Não há linhas todas nulas com algo acima — ok.
Portanto todas as condições de RREF (Gauss–Jordan) são satisfeitas: os pivôs são 1 e são únicos em suas colunas. Conclusão: o processo de Gauss–Jordan já foi finalizado (a matriz está na forma reduzida por linhas).
Observação rápida: se algo estivesse apenas em REF (Gauss) poderia faltar zeros acima dos pivôs ou pivôs não iguais a 1; aqui não é o caso.

Passo 4

Listando os pivôs explicitamente e interpretando-os como variáveis básicas:
  • Pivô da linha 1: entrada 1 na coluna 1. Então a variável básica correspondente é \,x_1.
  • Pivô da linha 2: entrada 1 na coluna 3. Então a variável básica correspondente é \,x_3.
As colunas sem pivô são as colunas 2 e 4, portanto as variáveis \,x_2 e \,x_4 são variáveis livres.
Número de variáveis livres: há 4 incógnitas no total e 2 pivôs (variáveis básicas), portanto o número de variáveis livres é
4-2=2.

Passo 5

Converter a matriz aumentada em sistema de equações e resolver parametrizando pelas variáveis livres (método que funciona sempre que a matriz está em RREF):
A primeira linha dá a equação
x_1 + 2x_2 + 0\cdot x_3 + x_4 = 4,
ou seja
x_1 + 2x_2 + x_4 = 4.
A segunda linha dá a equação
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + x_3 - x_4 = 1,
ou seja
x_3 - x_4 = 1.
Como \,x_2 e \,x_4 são livres, escolho parâmetros para elas: seja \,s o parâmetro para \,x_2 e \,t o parâmetro para \,x_4, com \,s,t\in\mathbb{R}. Agora expresso as variáveis básicas em função de s,t:
Da segunda equação:
x_3 = 1 + x_4 = 1 + t.
Da primeira equação:
x_1 = 4 - 2x_2 - x_4 = 4 - 2s - t.
Portanto a solução geral em forma paramétrica é
(x_1,x_2,x_3,x_4) = \bigl(4-2s-t,\; s,\; 1+t,\; t\bigr),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Podemos escrever em forma afim (vetor mais combinação linear):
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Consistência: não há linha da forma [0\;0\;0\;0\;|\;b] com b\neq0, então o sistema é consistente (tem solução).

Resposta

Gauss–Jordan finalizado.
Pivôs: linha 1 → pivô em \text{coluna }1 (variável básica \,x_1); linha 2 → pivô em \text{coluna }3 (variável básica \,x_3).
Número de variáveis livres: 2 (as variáveis livres são \,x_2 e \,x_4).
Conjunto- solução:
\{(x_1,x_2,x_3,x_4)=(4-2s-t,\;s,\;1+t,\;t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.

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