Dadas as matrizes aumentadas abaixo, identifique se o método de eliminação Gaussiana ou de Gauss-Jordan foi finalizado. Identifique os pivôs de cada linha e diga quantas variáveis podem ser livres. Determine o conjunto-solução para cada caso.
\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 0 & 2 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]
e pede: (a) identificar se o processo que aparece é eliminação Gaussiana (forma escalonada) ou Gauss–Jordan (forma reduzida por linhas) e se o método foi finalizado; (b) identificar os pivôs de cada linha; (c) dizer quantas variáveis podem ser livres; (d) determinar o conjunto solução. Estas são as quatro perguntas que vou responder passo a passo.

Passo 2

O que significa cada método (explicação didática, sem assumir que já sabe):
  • Um sistema linear pode ser representado por uma matriz aumentada. Aplicando operações elementares por linhas chegamos a uma forma mais simples para resolver o sistema.
  • “Eliminação Gaussiana” normalmente termina quando a matriz está em forma escalonada (row echelon form, REF): os pivôs (primeiros não-nulos de cada linha) aparecem à direita dos pivôs das linhas acima e todos os elementos abaixo de um pivô são zero. Em REF não é exigido que acima do pivô haja zeros.
  • “Gauss–Jordan” produz a forma escalonada reduzida por linhas (reduced row echelon form, RREF): além de REF, cada pivô é igual a 1 e é o único elemento não nulo na sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô).
  • Portanto, para decidir qual método foi finalizado, tenho que ver se cada coluna de pivô tem zeros em todas as outras entradas (RREF) ou apenas zeros abaixo do pivô (REF).

Passo 3

Identificar pivôs observando a matriz linha a linha:
  • Na linha 1 a primeira entrada não nula é \;1 na coluna 1. Esse é um pivô. (Vou chamar de pivô da linha 1.)
  • Na linha 2 a primeira entrada não nula é \;1 na coluna 2. Esse é o pivô da linha 2.
  • Na linha 3 a primeira entrada não nula é \;1 na coluna 4. Esse é o pivô da linha 3.
    Logo, os pivôs estão em coluna 1 da linha 1, coluna 2 da linha 2, e coluna 4 da linha 3.

Passo 4

Verifico se a forma é RREF (Gauss–Jordan finalizado) ou apenas REF (Gauss finalizado):
  • Para ser RREF cada pivô deve ser o único elemento não nulo em sua coluna.
  • A coluna 1 (componentes nas linhas) é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} — OK para RREF nessa coluna.
  • A coluna 2 é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} — OK para RREF nessa coluna.
  • A coluna 4 é \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}. Aqui há um -1 na linha 2 acima do pivô da linha 3. Em RREF esse elemento deveria ser 0. Portanto a matriz não está em RREF.
  • Conclusão: a matriz está em forma escalonada (REF) — porque os pivôs formam uma escada e abaixo deles há zeros — mas não está em forma escalonada reduzida (RREF). Isso indica que o processo de eliminação Gaussiana foi finalizado (ou seja, fez-se Gauss / REF) mas não foi completado até Gauss–Jordan (não fez-se a redução para zeros acima dos pivôs).

Passo 5

Contagem de variáveis e variáveis livres:
  • A matriz corresponde a um sistema com 4 variáveis incógnitas: x_1,x_2,x_3,x_4 (uma coluna para cada variável antes da barra).
  • O número de pivôs é 3 (colunas 1,2,4). O posto = número de pivôs =3.
  • O número de variáveis livres é número de variáveis - posto =4-3=1.
  • Portanto há exatamente uma variável livre. Normalmente escolhemos a variável correspondente a uma coluna sem pivô como parâmetro; aqui a coluna sem pivô é a coluna 3, logo x_3 será a variável livre.

Passo 6

Escrever o sistema de equações correspondente à matriz (cada linha é uma equação):
  • Da linha 1: x_1 + 0\cdot x_2 + 2\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = 3,
ou simplesmente x_1 + 2x_3 = 3.
  • Da linha 2: 0\cdot x_1 + x_2 + 1\cdot x_3 -1\cdot x_4 = 1,
ou x_2 + x_3 - x_4 = 1.
  • Da linha 3: 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + x_4 = -2,
ou simplesmente x_4 = -2.

Passo 7

Resolver por substituição (back substitution), passo a passo:
  • Da última equação já temos x_4 = -2.
  • Substituo este valor na equação da linha 2:
x_2 + x_3 - x_4 = 1
substituindo x_4=-2
x_2 + x_3 - (-2) = 1 \quad\Rightarrow\quad x_2 + x_3 + 2 = 1.
Isolando x_2:
x_2 = 1 - 2 - x_3 = -1 - x_3.
  • Agora uso a equação da linha 1:
x_1 + 2x_3 = 3 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 3 - 2x_3.
  • Como já vimos, x_3 é livre. Introduzo um parâmetro para a variável livre: seja t\in\mathbb{R} e defina \;x_3 = t.

Passo 8

Expressar o conjunto solução em forma paramétrica (forma que você pode usar na prova):
Substituindo x_3=t, x_4=-2, x_2=-1-t, x_1=3-2t, obtemos o vetor solução
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (3-2t,\;-1-t,\;t,\;-2),\qquad t\in\mathbb{R}.
Também é comum escrever em forma vetorial separando uma solução particular e a direção do parâmetro:
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \qquad t\in\mathbb{R}.
Isso mostra explicitamente que o espaço de soluções é uma reta afim no \mathbb{R}^4.

Resposta

Eliminação Gaussiana (forma escalonada, REF) finalizada; não é Gauss–Jordan (não está em RREF).\nPivôs: linha 1 → coluna 1; linha 2 → coluna 2; linha 3 → coluna 4.\nNúmero de variáveis livres: 1 (a variável livre é x_3).\nConjunto solução: \displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4)=(3-2t,\,-1-t,\;t,\,-2),\\ t\in\mathbb{R}.

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