Dadas as matrizes aumentadas abaixo, identifique se o método de eliminação Gaussiana ou de Gauss-Jordan foi finalizado. Identifique os pivôs de cada linha e diga quantas variáveis podem ser livres. Determine o conjunto-solução para cada caso. \left[\begin{array}{cccc|c}1 & 0 & 2 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right]
e pede: (a) identificar se o processo que aparece é eliminação Gaussiana (forma escalonada) ou Gauss–Jordan (forma reduzida por linhas) e se o método foi finalizado; (b) identificar os pivôs de cada linha; (c) dizer quantas variáveis podem ser livres; (d) determinar o conjunto solução. Estas são as quatro perguntas que vou responder passo a passo.
Passo 2
O que significa cada método (explicação didática, sem assumir que já sabe):
Um sistema linear pode ser representado por uma matriz aumentada. Aplicando operações elementares por linhas chegamos a uma forma mais simples para resolver o sistema.
“Eliminação Gaussiana” normalmente termina quando a matriz está em forma escalonada (row echelon form, REF): os pivôs (primeiros não-nulos de cada linha) aparecem à direita dos pivôs das linhas acima e todos os elementos abaixo de um pivô são zero. Em REF não é exigido que acima do pivô haja zeros.
“Gauss–Jordan” produz a forma escalonada reduzida por linhas (reduced row echelon form, RREF): além de REF, cada pivô é igual a 1 e é o único elemento não nulo na sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô).
Portanto, para decidir qual método foi finalizado, tenho que ver se cada coluna de pivô tem zeros em todas as outras entradas (RREF) ou apenas zeros abaixo do pivô (REF).
Passo 3
Identificar pivôs observando a matriz linha a linha:
Na linha 1 a primeira entrada não nula é \;1 na coluna 1. Esse é um pivô. (Vou chamar de pivô da linha 1.)
Na linha 2 a primeira entrada não nula é \;1 na coluna 2. Esse é o pivô da linha 2.
Na linha 3 a primeira entrada não nula é \;1 na coluna 4. Esse é o pivô da linha 3.
Logo, os pivôs estão em coluna 1 da linha 1, coluna 2 da linha 2, e coluna 4 da linha 3.
Passo 4
Verifico se a forma é RREF (Gauss–Jordan finalizado) ou apenas REF (Gauss finalizado):
Para ser RREF cada pivô deve ser o único elemento não nulo em sua coluna.
A coluna 1 (componentes nas linhas) é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} — OK para RREF nessa coluna.
A coluna 2 é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} — OK para RREF nessa coluna.
A coluna 4 é \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}. Aqui há um -1 na linha 2 acima do pivô da linha 3. Em RREF esse elemento deveria ser 0. Portanto a matriz não está em RREF.
Conclusão: a matriz está em forma escalonada (REF) — porque os pivôs formam uma escada e abaixo deles há zeros — mas não está em forma escalonada reduzida (RREF). Isso indica que o processo de eliminação Gaussiana foi finalizado (ou seja, fez-se Gauss / REF) mas não foi completado até Gauss–Jordan (não fez-se a redução para zeros acima dos pivôs).
Passo 5
Contagem de variáveis e variáveis livres:
A matriz corresponde a um sistema com 4 variáveis incógnitas: x_1,x_2,x_3,x_4 (uma coluna para cada variável antes da barra).
O número de pivôs é 3 (colunas 1,2,4). O posto = número de pivôs =3.
O número de variáveis livres é número de variáveis - posto =4-3=1.
Portanto há exatamente uma variável livre. Normalmente escolhemos a variável correspondente a uma coluna sem pivô como parâmetro; aqui a coluna sem pivô é a coluna 3, logo x_3 será a variável livre.
Passo 6
Escrever o sistema de equações correspondente à matriz (cada linha é uma equação):
Da linha 1: x_1 + 0\cdot x_2 + 2\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = 3,
ou simplesmente x_1 + 2x_3 = 3.
Da linha 2: 0\cdot x_1 + x_2 + 1\cdot x_3 -1\cdot x_4 = 1,
ou x_2 + x_3 - x_4 = 1.
Da linha 3: 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + x_4 = -2,
ou simplesmente x_4 = -2.
Passo 7
Resolver por substituição (back substitution), passo a passo:
Como já vimos, x_3 é livre. Introduzo um parâmetro para a variável livre: seja t\in\mathbb{R} e defina \;x_3 = t.
Passo 8
Expressar o conjunto solução em forma paramétrica (forma que você pode usar na prova):
Substituindo x_3=t, x_4=-2, x_2=-1-t, x_1=3-2t, obtemos o vetor solução
Isso mostra explicitamente que o espaço de soluções é uma reta afim no \mathbb{R}^4.
Resposta
Eliminação Gaussiana (forma escalonada, REF) finalizada; não é Gauss–Jordan (não está em RREF).\nPivôs: linha 1 → coluna 1; linha 2 → coluna 2; linha 3 → coluna 4.\nNúmero de variáveis livres: 1 (a variável livre é x_3).\nConjunto solução: \displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4)=(3-2t,\,-1-t,\;t,\,-2),\\ t\in\mathbb{R}.