r_{1}:\left\{\begin{array}{l} y=-2 x \\\ z=x \end{array} \quad \text { e } \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=2-t \\\ y=-1+t \\\ z=4-2 t \end{array}\right.\right.
Determinar:
(a) o ponto P^{\prime} simétrico de P(1,0,5) em relação à reta r_{1};
(b) o ponto O^{\prime} simétrico de O(0,0,0) em relação à reta r_{2}.
Passo 1
O enunciado pede duas reflexões (simetrias) de pontos em relação a retas no espaço. Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
Ponto [P) é \(1,0,5).
Ponto O é \(0,0,0).
Reta r_{1} dada por
\begin{cases} y=-2x\\[4pt] z=x \end{cases}
Reta (r_{2}] dada por \begin{cases} x=2-t\\[4pt] y=-1+t\\[4pt] z=4-2t \end{cases}
Perguntas:
(a) determinar o ponto P' simétrico de P em relação a r_{1};
(b) determinar o ponto O' simétrico de O em relação a r_{2}.]
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (aula rápida e bem prática).
Representação vetorial de uma reta: uma reta pode ser escrita como
X=A+t\,v,
onde A é um ponto qualquer da reta (vetor posição) e v é um vetor diretor da reta. Aqui t é o parâmetro.
Projeção ortogonal (pé da perpendicular) de um ponto P na reta: seja H o pé da perpendicular de P sobre a reta A+t v. Primeiro calcula-se
t_0=\frac{v\cdot(P-A)}{v\cdot v},
onde v\cdot w é o produto escalar entre vetores v e w. Em seguida
H=A+t_0 v.
Explicando as variáveis: P e A são vetores posição dos pontos P e A; v é vetor diretor; v\cdot v é o quadrado do comprimento de v; t_0 é o parâmetro que localiza H sobre a reta.
Simetria (reflexão) de P em relação à reta: uma vez obtido H, o ponto simétrico P' é o reflexo de P em H ao longo da normal, ou seja
P'=2H-P.
Isto é, H é o ponto médio do segmento \overline{PP'}.
Observação sobre produto escalar em coordenadas: se v=(v_1,v_2,v_3) e w=(w_1,w_2,w_3), então
v\cdot w = v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3.
Passo 3
Aplicando ao item (a) — achar P' em relação a r_{1}.
Transformar r_{1} em forma paramétrica: tomar x=t. Então
r_{1}:\; (x,y,z)=(t,-2t,t)=t(1,-2,1).
Logo podemos escolher A_{1}=(0,0,0) (a reta passa pela origem) e vetor diretor
v_{1}=(1,-2,1).
Como A_{1}=(0,0,0), a fórmula de t_0 simplifica para
t_1=\frac{v_{1}\cdot P}{v_{1}\cdot v_{1}}.
Calcular os produtos escalares (mostrando passo a passo):