Dadas as retas
r_{1}:\left\{\begin{array}{l} y=-2 x \\\ z=x \end{array} \quad \text { e } \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=2-t \\\ y=-1+t \\\ z=4-2 t \end{array}\right.\right.
Determinar:
(a) o ponto P^{\prime} simétrico de P(1,0,5) em relação à reta r_{1};
(b) o ponto O^{\prime} simétrico de O(0,0,0) em relação à reta r_{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas reflexões (simetrias) de pontos em relação a retas no espaço. Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
  • Ponto [P) é \(1,0,5).
  • Ponto O é \(0,0,0).
  • Reta r_{1} dada por
\begin{cases} y=-2x\\[4pt] z=x \end{cases}
  • Reta (r_{2}] dada por
    \begin{cases} x=2-t\\[4pt] y=-1+t\\[4pt] z=4-2t \end{cases}
Perguntas:
(a) determinar o ponto P' simétrico de P em relação a r_{1};
(b) determinar o ponto O' simétrico de O em relação a r_{2}.]

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (aula rápida e bem prática).
  • Representação vetorial de uma reta: uma reta pode ser escrita como
X=A+t\,v,
onde A é um ponto qualquer da reta (vetor posição) e v é um vetor diretor da reta. Aqui t é o parâmetro.
  • Projeção ortogonal (pé da perpendicular) de um ponto P na reta: seja H o pé da perpendicular de P sobre a reta A+t v. Primeiro calcula-se
t_0=\frac{v\cdot(P-A)}{v\cdot v},
onde v\cdot w é o produto escalar entre vetores v e w. Em seguida
H=A+t_0 v.
Explicando as variáveis: P e A são vetores posição dos pontos P e A; v é vetor diretor; v\cdot v é o quadrado do comprimento de v; t_0 é o parâmetro que localiza H sobre a reta.
  • Simetria (reflexão) de P em relação à reta: uma vez obtido H, o ponto simétrico P' é o reflexo de P em H ao longo da normal, ou seja
P'=2H-P.
Isto é, H é o ponto médio do segmento \overline{PP'}.
Observação sobre produto escalar em coordenadas: se v=(v_1,v_2,v_3) e w=(w_1,w_2,w_3), então
v\cdot w = v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3.

Passo 3

Aplicando ao item (a) — achar P' em relação a r_{1}.
Transformar r_{1} em forma paramétrica: tomar x=t. Então
r_{1}:\; (x,y,z)=(t,-2t,t)=t(1,-2,1).
Logo podemos escolher A_{1}=(0,0,0) (a reta passa pela origem) e vetor diretor
v_{1}=(1,-2,1).
Como A_{1}=(0,0,0), a fórmula de t_0 simplifica para
t_1=\frac{v_{1}\cdot P}{v_{1}\cdot v_{1}}.
Calcular os produtos escalares (mostrando passo a passo):
v_{1}\cdot P = (1)\cdot(1) + (-2)\cdot(0) + (1)\cdot(5) = 1 + 0 + 5 = 6.
v_{1}\cdot v_{1} = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6.

Passo 4

Continuando (a):
Calcular t_1:
t_1=\frac{6}{6}=1.
Encontrar o pé H (chamado H_1 aqui):
H_1 = A_{1} + t_1 v_{1} = (0,0,0) + 1\cdot(1,-2,1) = (1,-2,1).
Agora a reflexão: P' = 2H_1 - P. Calcular componente a componente:
2H_1 = 2(1,-2,1) = (2,-4,2).
P' = (2,-4,2) - (1,0,5) = (2-1,\,-4-0,\;2-5) = (1,-4,-3).
Portanto, para (a) obtemos P'=(1,-4,-3).

Passo 5

Aplicando ao item (b) — achar O' simétrico de O=(0,0,0) em relação a r_{2}.
Identificar A_{2} e v_{2} a partir da forma paramétrica dada:
r_{2}:\; (x,y,z)=(2,-1,4) + t(-1,1,-2).
Assim escolhemos
A_{2}=(2,-1,4),\qquad v_{2}=(-1,1,-2).
Usamos a fórmula geral para o pé H_2:
t_2=\frac{v_{2}\cdot (O-A_{2})}{v_{2}\cdot v_{2}}.
Aqui O=(0,0,0), então O-A_{2}=(-2,1,-4).
Calcular produto escalar v_{2}\cdot(A_{2}) e v_{2}\cdot v_{2} passo a passo (vai ser útil):
v_{2}\cdot v_{2} = (-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6.
v_{2}\cdot (O-A_{2}) = v_{2}\cdot(-A_{2}) = -\bigl(v_{2}\cdot A_{2}\bigr).
Calcular primeiro v_{2}\cdot A_{2}:
v_{2}\cdot A_{2} = (-1)\cdot 2 + 1\cdot (-1) + (-2)\cdot 4 = -2 -1 -8 = -11.
Portanto
v_{2}\cdot(O-A_{2}) = -(-11) = 11.

Passo 6

Continuando (b):
Calcular t_2:
t_2=\frac{11}{6}.
Encontrar o pé H_2:
H_2 = A_{2} + t_2 v_{2} = (2,-1,4) + \frac{11}{6}(-1,1,-2).
Calcular componente a componente (fazendo as frações com cuidado):
x_{H_2} = 2 + \frac{11}{6}\cdot(-1) = \frac{12}{6} - \frac{11}{6} = \frac{1}{6},
y_{H_2} = -1 + \frac{11}{6}\cdot 1 = -\frac{6}{6} + \frac{11}{6} = \frac{5}{6},
z_{H_2} = 4 + \frac{11}{6}\cdot(-2) = \frac{24}{6} - \frac{22}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
Logo
H_2 = \left(\frac{1}{6},\frac{5}{6},\frac{1}{3}\right).
O ponto O' é 2H_2 - O. Como O=(0,0,0), temos O' = 2H_2. Calcular:
O' = 2\left(\frac{1}{6},\frac{5}{6},\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{2}{3}\right).

Resposta

\,P'=(1,-4,-3)
\,O'=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{5}{3},\dfrac{2}{3}\right)

Exercícios relacionados