Dado um campo vetorial
e o ponto
. Encontrar:
a.
em P.
b. Componente escalar de
em Q na direção de
.
c. Componente vetorial de
em Q na direção de
n.
d. O ângulo entre “G em Q” e
n.
a.
b. Componente escalar de
c. Componente vetorial de
d. O ângulo entre “G em Q” e
Passo 1
O enunciado fornece:
- O campo vetorial
. - O ponto
. - O vetor-direção unitário
.
As perguntas são:
a. Calcularem .
b. Calcular a componente escalar deem (o enunciado usa “Q”, mas só foi dado ; vou assumir que ) na direção de .
c. Calcular a componente vetorial deem na direção de .
d. Determinar o ângulo entreem e .
Passo 2
Avaliar o campo vetorial em um ponto: para um campo
, para obter
em um ponto
basta substituir
,
,
.
Aqui . Em
temos
,
,
. Substituindo:
Aqui
Calcule
:
Portanto
Passo 3
Verificar a natureza de
: é indicado como
. Para trabalhar com projeções é útil confirmar que
é unitário. As componentes de
são
. O comprimento (norma) é
Logo
é de fato um vetor unitário, o que simplifica fórmulas de projeção.
Passo 4
Componente escalar de
na direção de
: definição e cálculo.
A componente escalar (também chamada de projeção escalar ou componente dirigida) de um vetor na direção de um vetor unitário
é dada por
. Aqui
. Primeiro escrevemos as componentes de
:
A componente escalar (também chamada de projeção escalar ou componente dirigida) de um vetor
As componentes de
são
. O produto escalar é
Calcule termo a termo:
Somando:
Interpretação: é negativo, o que significa que a componente de
ao longo de
tem sentido oposto a
. Numericamente
.
Passo 5
Componente vetorial de
na direção de
: definição e cálculo.
A projeção vetorial de sobre a direção unitária
é
A projeção vetorial de
Usando
e
, obtemos
Multiplicando:
Em notação com vetores unitários:
Passo 6
Ângulo entre
e
: fórmula e cálculo.
A relação entre produto escalar e ângulo é
A relação entre produto escalar e ângulo é
Como
, ficamos com
. Já temos
. Calculamos
:
Logo
Valor numérico:
Em radianos:
Interpretação: o ângulo maior que
confirma que
e
apontam em sentidos majoritariamente opostos (concordando com a componente escalar negativa).
Resposta
a.
b. Componente escalar:
c. Componente vetorial (projeção):
d. Ângulo: (≈
rad)
b. Componente escalar:
c. Componente vetorial (projeção):
d. Ângulo: