Dado um campo vetorial \boldsymbol{G}=y \boldsymbol{a}_{x}-25 x \boldsymbol{a}_{y}+9 \boldsymbol{a}_{z} e o ponto \mathrm{P}(8,5,4). Encontrar:
a. \mathbf{G} em P.
b. Componente escalar de \mathbf{G} em Q na direção de \boldsymbol{\boldsymbol { a } _ { n }}=\mathbf{1 / 3}\left(2 \boldsymbol{\boldsymbol { a } _ { x }}+\boldsymbol{\boldsymbol { a } _ { y }}-2 \boldsymbol{\boldsymbol { a } _ { z }}\right).
c. Componente vetorial de \mathbf{G} em Q na direção de \boldsymbol{a} n.
d. O ângulo entre “G em Q” e \boldsymbol{a} n.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O campo vetorial \boldsymbol{G}=y\,\boldsymbol{a}_x-25x\,\boldsymbol{a}_y+9\,\boldsymbol{a}_z.
  • O ponto \mathrm{P}(8,5,4).
  • O vetor-direção unitário \boldsymbol{a}_n=\tfrac{1}{3}\bigl(2\boldsymbol{a}_x+\boldsymbol{a}_y-2\boldsymbol{a}_z\bigr).
    As perguntas são:
    a. Calcular \boldsymbol{G} em P.
    b. Calcular a componente escalar de \boldsymbol{G} em P (o enunciado usa “Q”, mas só foi dado P; vou assumir que Q=P) na direção de \boldsymbol{a}_n.
    c. Calcular a componente vetorial de \boldsymbol{G} em P na direção de \boldsymbol{a}_n.
    d. Determinar o ângulo entre \boldsymbol{G} em P e \boldsymbol{a}_n.

Passo 2

Avaliar o campo vetorial em um ponto: para um campo \boldsymbol{G}(x,y,z), para obter \boldsymbol{G} em um ponto (x_0,y_0,z_0) basta substituir x=x_0, y=y_0, z=z_0.
Aqui \boldsymbol{G}(x,y,z)=y\,\boldsymbol{a}_x-25x\,\boldsymbol{a}_y+9\,\boldsymbol{a}_z. Em P(8,5,4) temos x=8, y=5, z=4. Substituindo:
\boldsymbol{G}(P)=5\,\boldsymbol{a}_x-25\cdot 8\,\boldsymbol{a}_y+9\,\boldsymbol{a}_z.
Calcule 25\cdot 8:
25\cdot 8=200.
Portanto
\boldsymbol{G}(P)=5\,\boldsymbol{a}_x-200\,\boldsymbol{a}_y+9\,\boldsymbol{a}_z.

Passo 3

Verificar a natureza de \boldsymbol{a}_n: é indicado como \boldsymbol{a}_n=\tfrac{1}{3}(2\boldsymbol{a}_x+\boldsymbol{a}_y-2\boldsymbol{a}_z). Para trabalhar com projeções é útil confirmar que \boldsymbol{a}_n é unitário. As componentes de \boldsymbol{a}_n são \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr). O comprimento (norma) é
\|\boldsymbol{a}_n\|=\sqrt{\left(\tfrac{2}{3}\right)^2+\left(\tfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\tfrac{2}{3}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{4}{9}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{9}} =\sqrt{\tfrac{9}{9}}=1.
Logo \boldsymbol{a}_n é de fato um vetor unitário, o que simplifica fórmulas de projeção.

Passo 4

Componente escalar de \boldsymbol{G} na direção de \boldsymbol{a}_n: definição e cálculo.
A componente escalar (também chamada de projeção escalar ou componente dirigida) de um vetor \boldsymbol{G} na direção de um vetor unitário \boldsymbol{u} é dada por \boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{u}. Aqui \boldsymbol{u}=\boldsymbol{a}_n. Primeiro escrevemos as componentes de \boldsymbol{G}(P):
\boldsymbol{G}(P)=(5,\,-200,\,9).
As componentes de \boldsymbol{a}_n são \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr). O produto escalar é
\boldsymbol{G}(P)\cdot\boldsymbol{a}_n =5\cdot\tfrac{2}{3}+(-200)\cdot\tfrac{1}{3}+9\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr).
Calcule termo a termo:
5\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{10}{3},\qquad -200\cdot\tfrac{1}{3}=-\tfrac{200}{3},\qquad 9\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)=-\tfrac{18}{3}.
Somando:
\boldsymbol{G}(P)\cdot\boldsymbol{a}_n=\tfrac{10}{3}-\tfrac{200}{3}-\tfrac{18}{3}=\tfrac{10-200-18}{3}=-\tfrac{208}{3}.
Interpretação: é negativo, o que significa que a componente de \boldsymbol{G} ao longo de \boldsymbol{a}_n tem sentido oposto a \boldsymbol{a}_n. Numericamente -\tfrac{208}{3}\approx -69{,}333.

Passo 5

Componente vetorial de \boldsymbol{G} na direção de \boldsymbol{a}_n: definição e cálculo.
A projeção vetorial de \boldsymbol{G} sobre a direção unitária \boldsymbol{a}_n é
\text{proj}_{\boldsymbol{a}_n}\boldsymbol{G}=(\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}_n)\,\boldsymbol{a}_n.
Usando \boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}_n=-\tfrac{208}{3} e \boldsymbol{a}_n=\tfrac{1}{3}(2,1,-2), obtemos
\text{proj}_{\boldsymbol{a}_n}\boldsymbol{G}=-\tfrac{208}{3}\cdot\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr) =\bigl(-\tfrac{208}{3}\cdot\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{208}{3}\cdot\tfrac{1}{3},\,-\tfrac{208}{3}\cdot(-\tfrac{2}{3})\bigr).
Multiplicando:
\text{proj}_{\boldsymbol{a}_n}\boldsymbol{G}=\bigl(-\tfrac{416}{9},\,-\tfrac{208}{9},\,\tfrac{416}{9}\bigr).
Em notação com vetores unitários:
\text{proj}_{\boldsymbol{a}_n}\boldsymbol{G}=-\tfrac{416}{9}\,\boldsymbol{a}_x-\tfrac{208}{9}\,\boldsymbol{a}_y+\tfrac{416}{9}\,\boldsymbol{a}_z.

Passo 6

Ângulo entre \boldsymbol{G}(P) e \boldsymbol{a}_n: fórmula e cálculo.
A relação entre produto escalar e ângulo é
\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}_n=\|\boldsymbol{G}\|\|\boldsymbol{a}_n\|\cos\theta.
Como \|\boldsymbol{a}_n\|=1, ficamos com \cos\theta=(\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}_n)/\|\boldsymbol{G}\|. Já temos \boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}_n=-\tfrac{208}{3}. Calculamos \|\boldsymbol{G}\|:
\|\boldsymbol{G}(P)\|=\sqrt{5^2+(-200)^2+9^2}=\sqrt{25+40000+81}=\sqrt{40106}.
Logo
\cos\theta=\frac{-\tfrac{208}{3}}{\sqrt{40106}}.
Valor numérico:
\cos\theta\approx -0{,}346264\quad\Rightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}(-0{,}346264)\approx 110{,}26^\circ.
Em radianos:
\theta\approx 1{,}9248\\ \text{rad}.
Interpretação: o ângulo maior que 90^\circ confirma que \boldsymbol{G} e \boldsymbol{a}_n apontam em sentidos majoritariamente opostos (concordando com a componente escalar negativa).

Resposta

a. \boldsymbol{G}(P)=5\,\boldsymbol{a}_x-200\,\boldsymbol{a}_y+9\,\boldsymbol{a}_z
b. Componente escalar: \boldsymbol{G}(P)\cdot\boldsymbol{a}_n=-\tfrac{208}{3}
c. Componente vetorial (projeção): \text{proj}_{\boldsymbol{a}_n}\boldsymbol{G}=-\tfrac{416}{9}\,\boldsymbol{a}_x-\tfrac{208}{9}\,\boldsymbol{a}_y+\tfrac{416}{9}\,\boldsymbol{a}_z
d. Ângulo: \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{-\tfrac{208}{3}}{\sqrt{40106}}\bigr)\approx 110{,}26^\circ (≈ 1{,}9248 rad)

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