Dado o PVI: y^{\prime}=4-2 x, y(0)=2. Considere h=0.25 e h=0.1.
(a) Encontre uma aproximação para y(5) usando o método de Euler aperfeiçoado para cada h.
(b) Verifique que a solução exata é y(x)=-x^{2}+4 x+2.
(c) Compare seus resultados com a solução exata. Justifique o comportamento dos erros nesses resultados.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
  • Problema: resolver o PVI com
y' = 4 - 2x,\qquad y(0)=2.
  • Valores de passo pedidos: h=0,25 e h=0,1.
  • Perguntas:
    (a) Aproximar y(5) usando o método de Euler aperfeiçoado (Heun) para cada h.
    (b) Verificar que a solução exata é y(x)=-x^{2}+4x+2.
    (c) Comparar os resultados numéricos com a solução exata e justificar o comportamento dos erros.

Passo 2

O método de Euler aperfeiçoado (também chamado de método de Heun ou método do trapézio explícito) — explicação didática:
  • Queremos aproximar a solução em pontos x_n = x_0 + n h. Seja y_n a aproximação de y(x_n).
  • Fórmula do método (forma preditor-corretor):
    primeiro calculamos o preditor (Euler explícito) y_n^{\text{(pred)}} = y_n + h\,f(x_n,y_n),em seguida o corretor (média dos declives) y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\bigl(f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_n^{\text{(pred)}})\bigr).
  • Aqui:
    • h é o passo (distância entre pontos),
    • f(x,y) é a função do lado direito do EDO, isto é y' = f(x,y),
    • x_{n+1}=x_n+h,
    • y_n é a aproximação no ponto x_n.
  • Interpretação: a incrementação usa a média dos declives no início e no fim do subintervalo — é equivalente a aplicar a regra do trapézio para integrar f em cada subintervalo.

Passo 3

Aplicando uma iteração numérica para ilustrar (com h=0,25):
  • Temos x_0=0, y_0=2 e f(x,y)=4-2x. Repare que f depende apenas de x, não de y.
  • Primeiro passo ( n=0, x_1=0+0,25=0,25): f(x_0,y_0)=f(0,2)=4-2\cdot 0=4.Preditor: y_0^{\text{(pred)}}=2 + 0,25\cdot 4 = 2 + 1 = 3.Avaliamos o declive no fim do passo: f(x_1,y_0^{\text{(pred)}})=f(0,25,\cdot)=4-2\cdot 0,25=4-0,5=3,5.Corretor: y_1 = 2 + \frac{0,25}{2}(4 + 3,5) = 2 + 0,125\cdot 7,5 = 2 + 0,9375 = 2,9375.
  • Observação prática: esse valor coincide com a solução exata em x=0,25 (veremos por quê no próximo passo). Fazer passo a passo para os 20 (ou 50) passos seria mecânico; vamos mostrar por que não é necessário repetir tudo.

Passo 4

Simplificação importante quando f depende só de x:
  • No nosso problema f(x,y)=f(x)=4-2x. Então o preditor usa f(x_n) e o corretor usa f(x_{n+1}). A fórmula do método fica y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\bigl(f(x_n)+f(x_{n+1})\bigr).
  • Isso é exatamente a fórmula do método do trapézio aplicado ao integral \int_{x_n}^{x_{n+1}} f(x)\,dx, porque \int_{x_n}^{x_{n+1}} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\bigl(f(x_n)+f(x_{n+1})\bigr).
  • Para o nosso f(x)=4-2x temos que f é linear em x. A regra do trapézio (composta) é exata para funções polinomiais de grau até 1. Ou seja, para uma função linear a integral no subintervalo é exatamente dada pelo trapézio: \int_{x_n}^{x_{n+1}} (4-2x)\,dx = \frac{h}{2}\bigl(f(x_n)+f(x_{n+1})\bigr).
  • Portanto, o incremento exato da solução entre x_n e x_{n+1}, y(x_{n+1})-y(x_n)=\int_{x_n}^{x_{n+1}} f(x)\,dx,é exatamente igual ao incremento produzido pelo método de Euler aperfeiçoado. Assim, por passo, a aproximação coincide com o exato; por indução y_n = y(x_n) para todo n. Consequência: independentemente de h (desde que os pontos coincidam até x=5), obtemos a solução exata nos nós da malha.

Passo 5

Verificação da solução exata (parte (b)):
  • Proposta: \;y(x)=-x^{2}+4x+2.
  • Derivando: y'(x) = -2x + 4 = 4 - 2x,que é exatamente o lado direito do PVI. E y(0) = -0 + 0 + 2 = 2,que satisfaz a condição inicial. Logo a função proposta é de fato a solução exata do PVI.

Passo 6

Cálculo do valor exato em x=5:
  • Substituindo x=5 em y(x)=-x^{2}+4x+2: y(5) = -5^{2} + 4\cdot 5 + 2 = -25 + 20 + 2 = -3.

Passo 7

Conclusão para as partes (a) e (c) e interpretação dos erros:
  • Pelo argumento do Passo 4 (método equivale ao trapézio e f é linear), as aproximações obtidas pelo método de Euler aperfeiçoado em qualquer malha que contenha x=5 são exatamente iguais à solução exata em x=5. Assim para os dois passos pedidos:
    • com h=0,25 (20 passos até x=5) obtemos y(5)=-3,
    • com h=0,1 (50 passos até x=5) obtemos y(5)=-3.
  • Justificativa do comportamento do erro: em geral o método de Euler aperfeiçoado tem ordem 2 (erro global O(h^{2})). Contudo, neste caso particular o erro é exatamente zero nos nós porque a função f(x) é linear e o método reduz-se à regra do trapézio, que integra polinômios de grau \le 1 exatamente. Portanto o erro anula-se por cancelamento perfeito; não é apenas pequeno, é exatamente zero.

Resposta

(a) y(5) aproximado com h=0,25: -3
(a) y(5) aproximado com h=0,1: -3
(b) Solução exata: y(x)=-x^{2}+4x+2
(c) Os erros são 0 nos dois casos: o método de Euler aperfeiçoado equivale à regra do trapézio quando f depende só de x, e como f(x)=4-2x é linear a regra do trapézio é exata, por isso a aproximação coincide com a solução exata nos nós.

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