Dado o PVI:
. Considere
e
.
(a) Encontre uma aproximação para
usando o método de Euler aperfeiçoado para cada
.
(b) Verifique que a solução exata é
.
(c) Compare seus resultados com a solução exata. Justifique o comportamento dos erros nesses resultados.
(a) Encontre uma aproximação para
(b) Verifique que a solução exata é
(c) Compare seus resultados com a solução exata. Justifique o comportamento dos erros nesses resultados.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:
- Problema: resolver o PVI com
- Valores de passo pedidos:
e . - Perguntas:
(a) Aproximarusando o método de Euler aperfeiçoado (Heun) para cada .
(b) Verificar que a solução exata é.
(c) Comparar os resultados numéricos com a solução exata e justificar o comportamento dos erros.
Passo 2
O método de Euler aperfeiçoado (também chamado de método de Heun ou método do trapézio explícito) — explicação didática:
- Queremos aproximar a solução em pontos
. Seja a aproximação de . - Fórmula do método (forma preditor-corretor):
primeiro calculamos o preditor (Euler explícito)em seguida o corretor (média dos declives) - Aqui:
-
é o passo (distância entre pontos), -
é a função do lado direito do EDO, isto é , -
, -
é a aproximação no ponto .
-
- Interpretação: a incrementação usa a média dos declives no início e no fim do subintervalo — é equivalente a aplicar a regra do trapézio para integrar
em cada subintervalo.
Passo 3
Aplicando uma iteração numérica para ilustrar (com
):
- Temos
, e . Repare que depende apenas de , não de . - Primeiro passo (
, ): Preditor: Avaliamos o declive no fim do passo: Corretor: - Observação prática: esse valor coincide com a solução exata em
(veremos por quê no próximo passo). Fazer passo a passo para os 20 (ou 50) passos seria mecânico; vamos mostrar por que não é necessário repetir tudo.
Passo 4
Simplificação importante quando
depende só de
:
- No nosso problema
. Então o preditor usa e o corretor usa . A fórmula do método fica - Isso é exatamente a fórmula do método do trapézio aplicado ao integral
, porque - Para o nosso
temos que é linear em . A regra do trapézio (composta) é exata para funções polinomiais de grau até . Ou seja, para uma função linear a integral no subintervalo é exatamente dada pelo trapézio: - Portanto, o incremento exato da solução entre
e , é exatamente igual ao incremento produzido pelo método de Euler aperfeiçoado. Assim, por passo, a aproximação coincide com o exato; por indução para todo . Consequência: independentemente de (desde que os pontos coincidam até ), obtemos a solução exata nos nós da malha.
Passo 5
Verificação da solução exata (parte (b)):
- Proposta:
- Derivando:
que é exatamente o lado direito do PVI. E que satisfaz a condição inicial. Logo a função proposta é de fato a solução exata do PVI.
Passo 6
Cálculo do valor exato em
:
- Substituindo
em :
Passo 7
Conclusão para as partes (a) e (c) e interpretação dos erros:
- Pelo argumento do Passo 4 (método equivale ao trapézio e
é linear), as aproximações obtidas pelo método de Euler aperfeiçoado em qualquer malha que contenha são exatamente iguais à solução exata em . Assim para os dois passos pedidos: - com
(20 passos até ) obtemos , - com
(50 passos até ) obtemos .
- com
- Justificativa do comportamento do erro: em geral o método de Euler aperfeiçoado tem ordem
(erro global ). Contudo, neste caso particular o erro é exatamente zero nos nós porque a função é linear e o método reduz-se à regra do trapézio, que integra polinômios de grau exatamente. Portanto o erro anula-se por cancelamento perfeito; não é apenas pequeno, é exatamente zero.
Resposta
(a)
aproximado com
:
(a) aproximado com
:
(b) Solução exata:
(c) Os erros são nos dois casos: o método de Euler aperfeiçoado equivale à regra do trapézio quando
depende só de
, e como
é linear a regra do trapézio é exata, por isso a aproximação coincide com a solução exata nos nós.
(a)
(b) Solução exata:
(c) Os erros são