Ex. 3: Dado o seguinte tabelamento de um determinando experimento:
x 1 2 3 5
f(x) 1 8 27 125
a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange.
b) Verifique as condições necessárias.
c) Qual o valor estimado para x=2.25 no polinômio interpolador.
d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio interpolador.
e) Utilize interpolação quadrática no intervalo [1,3] e determine o valor de x=2.25.

Passo 1

O enunciado dá a tabela com quatro pontos e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi pedido e quais são os dados fornecidos.
Dados (da tabela):
( x_0,f(x_0) )=(1,1),\qquad ( x_1,f(x_1) )=(2,8),\qquad ( x_2,f(x_2) )=(3,27),\qquad ( x_3,f(x_3) )=(5,125).
Perguntas do enunciado:
a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange (o polinômio que passa por esses quatro pontos).
b) Verifique as condições necessárias (isto é, se as hipóteses que garantem existência e unicidade do interpolador estão satisfeitas).
c) Calcule o valor estimado pelo polinômio interpolador em x=2{,}25.
d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio interpolador.
e) Usando interpolação quadrática no intervalo [1,3] (ou seja, com os pontos (1,1),(2,8),(3,27)), estime o valor em x=2{,}25.

Passo 2

Apresento a fórmula de Lagrange e explico o que cada símbolo significa (passo didático). A ideia: dado n+1 pontos com abscissas distintas x_0,\dots,x_n e valores y_i=f(x_i), o polinômio interpolador de grau ≤ n é
P(x)=\sum_{i=0}^{n} y_i\,\ell_i(x),
onde cada base de Lagrange \ell_i(x) é
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui: \ell_i(x) é um polinômio que vale 1 em x=x_i e vale 0 em todos os outros nós x_j ( j\ne i). Então a combinação \sum y_i\ell_i(x) reproduz exatamente os valores nos nós.
No nosso caso temos quatro pontos, logo n=3 e usaremos \ell_0,\ell_1,\ell_2,\ell_3 com x_0=1,x_1=2,x_2=3,x_3=5.

Passo 3

Calculo explicitamente cada \ell_i(x) (mostrando denominadores e simplificando):
Para i=0 (núcleo em x_0=1):
\ell_0(x)=\frac{(x-2)(x-3)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-5)}.
Calculo do denominador: (1-2)=-1,\;(1-3)=-2,\;(1-5)=-4. Produto = (-1)(-2)(-4)=-8. Portanto
\ell_0(x)=-\tfrac{1}{8}(x-2)(x-3)(x-5).
Para i=1 (núcleo em x_1=2):
\ell_1(x)=\frac{(x-1)(x-3)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-5)}.
Denominador: (2-1)=1,\;(2-3)=-1,\;(2-5)=-3. Produto = 1\cdot(-1)\cdot(-3)=3. Então
\ell_1(x)=\tfrac{1}{3}(x-1)(x-3)(x-5).
Para i=2 (núcleo em x_2=3):
\ell_2(x)=\frac{(x-1)(x-2)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-5)}.
Denominador: (3-1)=2,\;(3-2)=1,\;(3-5)=-2. Produto = 2\cdot1\cdot(-2)=-4. Então
\ell_2(x)=-\tfrac{1}{4}(x-1)(x-2)(x-5).
Para i=3 (núcleo em x_3=5):
\ell_3(x)=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(5-1)(5-2)(5-3)}.
Denominador: 4\cdot3\cdot2=24. Portanto
\ell_3(x)=\tfrac{1}{24}(x-1)(x-2)(x-3).

Passo 4

Formo o polinômio interpolador usando os valores y_0=1,y_1=8,y_2=27,y_3=125:
P(x)=1\cdot\ell_0(x)+8\cdot\ell_1(x)+27\cdot\ell_2(x)+125\cdot\ell_3(x).
Em vez de expandir tudo mecanicamente, faço um argumento elegante e rigoroso para identificar P(x):
Considere R(x)=P(x)-x^3. Observações:
  • P(x) tem grau ≤ 3 por construção (soma de produtos com três fatores em cada \ell_i).
  • x^3 tem grau 3. Então R(x) também tem grau ≤ 3.
  • Para cada nó x\in\{1,2,3,5\} temos P(x)=f(x)=x^3 (pois o interpolador reproduz os valores dados). Logo R(1)=R(2)=R(3)=R(5)=0.
Portanto R(x) é um polinômio de grau ≤ 3 que possui quatro raízes distintas 1,2,3,5. O único polinômio de grau ≤3 com quatro raízes distintas é o polinômio identicamente zero. Logo R(x)\equiv 0 para todo x, isto é,
P(x)\equiv x^3.
Esse passo é bastante prático na prova: quando os valores seguem um padrão polinomial evidente, usar unicidade do interpolador evita algebra pesada.

Passo 5

Verificação das condições necessárias (explicando didaticamente por que isso importa):
  • Condição 1 (nós distintos): os nós são 1,2,3,5, todos distintos — condição satisfeita. Essa condição é essencial porque se dois nós fossem iguais não haveria garantia de interpolador único.
  • Condição 2 (grau): com quatro pontos podemos garantir existência de um polinômio interpolador de grau ≤ 3. Com nós distintos o teorema garante existência e unicidade do polinômio de grau ≤ 3.
  • Confirmação prática: encontramos explicitamente P(x)=x^3 que interpola os pontos, então as condições estão atendidas e o interpolador é único.

Passo 6

Calculo do valor estimado pelo polinômio interpolador em x=2{,}25.
Como P(x)=x^3, temos
P(2{,}25)=(2{,}25)^3.
Faço a conta de forma detalhada (sem calculadora, como em prova): escrevo 2{,}25=\tfrac{9}{4}. Então
\left(\tfrac{9}{4}\right)^3=\tfrac{9^3}{4^3}=\tfrac{729}{64}.
Dividindo 729 por 64 11{,}390625. Portanto
P(2{,}25)=11{,}390625.

Passo 7

Soma dos coeficientes do polinômio interpolador.
Observação útil: a soma dos coeficientes de um polinômio a_0+a_1x+\cdots+a_m x^m é igual ao valor do polinômio em x=1, porque somar os coeficientes é avaliar em x=1. Como P(x)=x^3, temos
\text{soma dos coeficientes}=P(1)=1^3=1.

Passo 8

Interpolação quadrática no intervalo [1,3] com os pontos (1,1),(2,8),(3,27) — calcular Q(2{,}25).
Usarei a fórmula de Lagrange para três pontos. Já calculei as bases terceirizadas no Passo 3, mas aqui só com x=1,2,3 teremos as bases:
L_0(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}=\frac{(x-2)(x-3)}{2},
L_1(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}=-(x-1)(x-3),
L_2(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{2}.
O polinômio quadrático é
Q(x)=1\cdot L_0(x)+8\cdot L_1(x)+27\cdot L_2(x).
Agora avalio em x=2{,}25. Primeiro calculo as diferenças:
x-1=1{,}25,\quad x-2=0{,}25,\quad x-3=-0{,}75.
Calculo das bases numéricas:
L_0(2{,}25)=\frac{(0{,}25)(-0{,}75)}{2}=\frac{-0{,}1875}{2}=-0{,}09375,
L_1(2{,}25)=-(1{,}25)(-0{,}75)=0{,}9375,
L_2(2{,}25)=\frac{(1{,}25)(0{,}25)}{2}=\frac{0{,}3125}{2}=0{,}15625.
(Observação de verificação: L_0+L_1+L_2=-0{,}09375+0{,}9375+0{,}15625=1, como deve ser.)
Agora monto Q(2{,}25):
Q(2{,}25)=1\cdot(-0{,}09375)+8\cdot0{,}9375+27\cdot0{,}15625.
Calculo cada termo: 8\cdot0{,}9375=7{,}5. 27\cdot0{,}15625=4{,}21875. Somando:
Q(2{,}25)=-0{,}09375+7{,}5+4{,}21875=11{,}625.
Portanto a interpolação quadrática dá Q(2{,}25)=11{,}625.
Comparação rápida (para incentivo): o interpolador cúbico deu 11{,}390625; a aproximação quadrática deu 11{,}625; a diferença é 0{,}234375.

Resposta

a) P(x)=x^3
b) Nós distintos ( 1,2,3,5) e, portanto, existe e é único um polinômio de grau ≤3 que interpola os pontos (condições satisfeitas).
c) P(2{,}25)=11{,}390625
d) Soma dos coeficientes =1
e) Interpolação quadrática em [1,3]: Q(2{,}25)=11{,}625

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