Ex. 3: Dado o seguinte tabelamento de um determinando experimento:
1
2
3
5
1
8
27
125
a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange.
b) Verifique as condições necessárias.
c) Qual o valor estimado para
no polinômio interpolador.
d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio interpolador.
e) Utilize interpolação quadrática no intervalo
e determine o valor de
.
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1 | 2 | 3 | 5 |
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1 | 8 | 27 | 125 |
b) Verifique as condições necessárias.
c) Qual o valor estimado para
d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio interpolador.
e) Utilize interpolação quadrática no intervalo
Passo 1
O enunciado dá a tabela com quatro pontos e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi pedido e quais são os dados fornecidos.
Dados (da tabela):
Perguntas do enunciado:
a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange (o polinômio que passa por esses quatro pontos).
b) Verifique as condições necessárias (isto é, se as hipóteses que garantem existência e unicidade do interpolador estão satisfeitas).
c) Calcule o valor estimado pelo polinômio interpolador em .
d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio interpolador.
e) Usando interpolação quadrática no intervalo (ou seja, com os pontos
), estime o valor em
.
a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange (o polinômio que passa por esses quatro pontos).
b) Verifique as condições necessárias (isto é, se as hipóteses que garantem existência e unicidade do interpolador estão satisfeitas).
c) Calcule o valor estimado pelo polinômio interpolador em
d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio interpolador.
e) Usando interpolação quadrática no intervalo
Passo 2
Apresento a fórmula de Lagrange e explico o que cada símbolo significa (passo didático). A ideia: dado
pontos com abscissas distintas
e valores
, o polinômio interpolador de grau ≤
é
onde cada base de Lagrange
é
Aqui:
é um polinômio que vale
em
e vale
em todos os outros nós
(
). Então a combinação
reproduz exatamente os valores nos nós.
No nosso caso temos quatro pontos, logo
e usaremos
com
.
Passo 3
Calculo explicitamente cada
(mostrando denominadores e simplificando):
Para
(núcleo em
):
Calculo do denominador:
. Produto =
. Portanto
Para
(núcleo em
):
Denominador:
. Produto =
. Então
Para
(núcleo em
):
Denominador:
. Produto =
. Então
Para
(núcleo em
):
Denominador:
. Portanto
Passo 4
Formo o polinômio interpolador usando os valores
:
Em vez de expandir tudo mecanicamente, faço um argumento elegante e rigoroso para identificar
:
Considere
. Observações:
-
tem grau ≤ por construção (soma de produtos com três fatores em cada ). -
tem grau . Então também tem grau ≤ . - Para cada nó
temos (pois o interpolador reproduz os valores dados). Logo .
Portanto
é um polinômio de grau ≤
que possui quatro raízes distintas
. O único polinômio de grau ≤3 com quatro raízes distintas é o polinômio identicamente zero. Logo
para todo
, isto é,
Esse passo é bastante prático na prova: quando os valores seguem um padrão polinomial evidente, usar unicidade do interpolador evita algebra pesada.
Passo 5
Verificação das condições necessárias (explicando didaticamente por que isso importa):
- Condição 1 (nós distintos): os nós são
, todos distintos — condição satisfeita. Essa condição é essencial porque se dois nós fossem iguais não haveria garantia de interpolador único. - Condição 2 (grau): com quatro pontos podemos garantir existência de um polinômio interpolador de grau ≤
. Com nós distintos o teorema garante existência e unicidade do polinômio de grau ≤ . - Confirmação prática: encontramos explicitamente
que interpola os pontos, então as condições estão atendidas e o interpolador é único.
Passo 6
Calculo do valor estimado pelo polinômio interpolador em
.
Como , temos
Como
Faço a conta de forma detalhada (sem calculadora, como em prova): escrevo
. Então
Dividindo
por
dá
. Portanto
Passo 7
Soma dos coeficientes do polinômio interpolador.
Observação útil: a soma dos coeficientes de um polinômio é igual ao valor do polinômio em
, porque somar os coeficientes é avaliar em
. Como
, temos
Observação útil: a soma dos coeficientes de um polinômio
Passo 8
Interpolação quadrática no intervalo
com os pontos
— calcular
.
Usarei a fórmula de Lagrange para três pontos. Já calculei as bases terceirizadas no Passo 3, mas aqui só com
teremos as bases:
O polinômio quadrático é
Agora avalio em
. Primeiro calculo as diferenças:
Calculo das bases numéricas:
(Observação de verificação:
, como deve ser.)
Agora monto
:
Calculo cada termo:
.
. Somando:
Portanto a interpolação quadrática dá
.
Comparação rápida (para incentivo): o interpolador cúbico deu
; a aproximação quadrática deu
; a diferença é
.
Resposta
a)
b) Nós distintos ( ) e, portanto, existe e é único um polinômio de grau ≤3 que interpola os pontos (condições satisfeitas).
c)
d) Soma dos coeficientes
e) Interpolação quadrática em :
b) Nós distintos (
c)
d) Soma dos coeficientes
e) Interpolação quadrática em