Dado um sistema de aritmética de ponto flutuante
, demonstre que
a cardinalidade (isto é, o número total de elementos distintos) de
é
a cardinalidade (isto é, o número total de elementos distintos) de
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar uma fórmula para a cardinalidade do conjunto de números de ponto flutuante
. As informações que temos são:
- A base é
, com . - A precisão (número de algarismos na mantissa) é
. - O expoente inteiro varia entre
e (inclusive). - Queremos o número total de elementos distintos em
, isto é, a cardinalidade .
Além disso, adotamos a definição padrão (implícita no enunciado) para números de ponto flutuante normalizados:
- Cada número não nulo em
tem a forma
onde
e para
e o expoente
satisfaz
.
- O número
está presente no conjunto e é representado separadamente (pois não tem representação normalizada com ).
Passo 2
Vamos contar, de forma bem didática, todas as possibilidades para representar um número não nulo em
. A ideia é multiplicar as opções independentes: sinal, mantissa (os dígitos) e expoente.
- Escolhas do sinal. Para o sinal temos exatamente duas opções:
logo há
escolhas.
- Escolhas da mantissa (os dígitos
).
- O primeiro dígito
é o dígito líder não nulo e pode assumir os valores . Então existem possibilidades para . - Cada um dos
dígitos restantes ( ) pode ser qualquer inteiro de até , ou seja, cada um tem possibilidades. - Como as escolhas dos dígitos são independentes, o total de mantissas possíveis é
Aqui usei a regra do produto: se você tem
opções para uma coisa e
opções independentes para outra, há
opções juntas.
- Escolhas do expoente
.
O expoente pode ser qualquer inteiro no intervalo, que contém exatamente
valores (contagem de termos consecutivos em um intervalo fechado). Portanto há
escolhas para
.
Passo 3
Agora combinamos as três partes — sinal, mantissa e expoente — usando novamente a regra do produto (escolhas independentes): o número total de números não nulos em
é
Explicando em palavras: para cada uma das
escolhas de sinal, para cada uma das
mantissas e para cada um dos
expoentes, obtemos um número distinto.
Passo 4
Falta lembrar do zero. A contagem do passo anterior não inclui
, porque a representação normalizada exige
. O número
é um elemento adicional do conjunto
. Assim, somamos
à contagem dos não nulos.
Portanto a cardinalidade total é
Como verificação rápida e concreta: se
,
,
,
, então
,
, logo não nulos
e total
, o que bate com a fórmula acima.