Dado um sistema de aritmética de ponto flutuante
, demonstre que
o maior número positivo que pode ser representado nesse sistema é
o maior número positivo que pode ser representado nesse sistema é
Passo 1
O enunciado pede que eu demonstre que, num sistema de aritmética de ponto flutuante
com
, o menor número positivo normalizado representável (indicado no enunciado por
) vale
Informações / hipóteses dadas que vou usar:
- a base é
; - a precisão (número de algarismos na mantissa) é
; - o intervalo de expoentes permitidos é
; - assume-se a forma normalizada usual de ponto flutuante (ou seja, o primeiro dígito da mantissa é não nulo).
Passo 2
Vou escrever explicitamente como é um número não nulo representável no sistema (essa é a definição que usamos).
Um número não nulo representável tem a forma
Um número não nulo representável tem a forma
onde:
- cada
é um dígito em ; - o número é normalizado, portanto
(o primeiro dígito após o ponto não pode ser zero); - o expoente
é um inteiro no intervalo .
Aquirepresenta a mantissa (significand) em base .
Explicando o que cada símbolo significa:
-
é a base do sistema (por exemplo, para decimal, para binário); -
é quantos dígitos têm a mantissa; -
e são os limites inferior e superior do expoente; -
é o dígito mais significativo da mantissa (não nulo por normalização).
Passo 3
Vou transformar a mantissa em uma expressão numérica para poder comparar valores.
A mantissa corresponde ao número
A mantissa
Como
e
para
, temos um intervalo para
:
Justificativa: o menor valor possível para
ocorre quando
e todos os outros
, então
. O maior valor possível é estritamente menor que
porque mesmo que todos os dígitos sejam
a soma é
.
Passo 4
Agora escrevo o valor de
em termos de
e
:
Para números positivos (que é o que interessa quando falamos do menor número positivo), temos
com
e
.
Para um expoente fixo
, o menor valor positivo representável com esse expoente é obtido tomando a menor mantissa possível, isto é
. Logo, para um
fixo,
Isso é intuitivo: a mantissa mínima dá um fator
que desloca o expoente para
.
Passo 5
Agora escolho entre todos os expoentes permitidos
qual produz o menor número positivo global. A expressão
é crescente em
(porque
), portanto o menor valor entre os
ocorre quando
é o menor expoente possível, ou seja
. Assim o menor número positivo normalizado representável no sistema é
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se
,
qualquer e
, então
que corresponde ao número obtido com mantissa mínima
e expoente
:
.