Dado um sistema de aritmética de ponto flutuante \mathbb{F}(\beta, p, m, M), \beta \geq 2, demonstre que
o maior número positivo que pode ser representado nesse sistema é
N_{\min }=\beta^{m-1}

Passo 1

O enunciado pede que eu demonstre que, num sistema de aritmética de ponto flutuante \mathbb{F}(\beta,p,m,M) com \beta\ge 2, o menor número positivo normalizado representável (indicado no enunciado por N_{\min}) vale
N_{\min}=\beta^{m-1}.
Informações / hipóteses dadas que vou usar:
  • a base é \beta\ge 2;
  • a precisão (número de algarismos na mantissa) é p;
  • o intervalo de expoentes permitidos é m\le e\le M;
  • assume-se a forma normalizada usual de ponto flutuante (ou seja, o primeiro dígito da mantissa é não nulo).

Passo 2

Vou escrever explicitamente como é um número não nulo representável no sistema (essa é a definição que usamos).
Um número não nulo representável tem a forma
x=\pm(0.d_{1}d_{2}\dots d_{p})_{\beta}\times\beta^{e},
onde:
  • cada d_{i} é um dígito em \{0,1,\dots,\beta-1\};
  • o número é normalizado, portanto d_{1}\in\{1,2,\dots,\beta-1\} (o primeiro dígito após o ponto não pode ser zero);
  • o expoente e é um inteiro no intervalo m\le e\le M.
    Aqui (0.d_{1}d_{2}\dots d_{p})_{\beta} representa a mantissa (significand) em base \beta.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • \beta é a base do sistema (por exemplo, \beta=10 para decimal, \beta=2 para binário);
  • p é quantos dígitos têm a mantissa;
  • m e M são os limites inferior e superior do expoente;
  • d_{1} é o dígito mais significativo da mantissa (não nulo por normalização).

Passo 3

Vou transformar a mantissa em uma expressão numérica para poder comparar valores.
A mantissa (0.d_{1}d_{2}\dots d_{p})_{\beta} corresponde ao número
s = d_{1}\beta^{-1} + d_{2}\beta^{-2} + \cdots + d_{p}\beta^{-p}.
Como d_{1}\ge 1 e d_{i}\ge 0 para i\ge2, temos um intervalo para s:
\beta^{-1} \le s < 1.
Justificativa: o menor valor possível para s ocorre quando d_{1}=1 e todos os outros d_{i}=0, então s_{\min}=\beta^{-1}. O maior valor possível é estritamente menor que 1 porque mesmo que todos os dígitos sejam \beta-1 a soma é (\beta-1)(\beta^{-1}+\beta^{-2}+\dots)<1.

Passo 4

Agora escrevo o valor de x em termos de s e e:
x = \pm s\,\beta^{e}.
Para números positivos (que é o que interessa quando falamos do menor número positivo), temos x = s\,\beta^{e} com \beta^{-1}\le s<1 e m\le e\le M.
Para um expoente fixo e, o menor valor positivo representável com esse expoente é obtido tomando a menor mantissa possível, isto é s=\beta^{-1}. Logo, para um e fixo,
x_{\min\\ \text{com}\\ e} = \beta^{-1}\beta^{e} = \beta^{e-1}.
Isso é intuitivo: a mantissa mínima dá um fator \beta^{-1} que desloca o expoente para e-1.

Passo 5

Agora escolho entre todos os expoentes permitidos m\le e\le M qual produz o menor número positivo global. A expressão \beta^{e-1} é crescente em e (porque \beta>1), portanto o menor valor entre os \beta^{e-1} ocorre quando e é o menor expoente possível, ou seja e=m. Assim o menor número positivo normalizado representável no sistema é
N_{\min} = \beta^{m-1}.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se \beta=10, p qualquer e m=-2, então
N_{\min}=10^{(-2)-1}=10^{-3},
que corresponde ao número obtido com mantissa mínima 0.1 e expoente e=-2: 0{,}1\times 10^{-2}=10^{-3}.

Resposta

\displaystyle N_{\min}=\beta^{m-1}

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