Dado um sistema de aritmética de ponto flutuante \mathbb{F}(\beta, p, m, M), \beta \geq 2, demonstre que
o menor número positivo que pode ser representado nesse sistema é
N_{\max }=\beta^{M}\left(1-\beta^{-p}\right)

Passo 1

O enunciado pede: demonstre que o menor número positivo que pode ser representado no sistema de ponto flutuante \mathbb{F}(\beta,p,m,M) é
N_{\max}=\beta^{M}\left(1-\beta^{-p}\right).
Informações dadas (que usaremos): \beta é a base do sistema com \beta\ge 2; p é o número de dígitos (precisão) da mantissa; m e M são, respectivamente, o menor e o maior expoente permitidos. Não há outras informações externas ao enunciado.

Passo 2

Vamos primeiro esclarecer o formato dos números representáveis nesse sistema (isso não é solução ainda, é só definição para entender o que manipular). Em \mathbb{F}(\beta,p,m,M) um número não nulo normalizado tem a forma
x=\pm(0.d_{1}d_{2}\dots d_{p})_{\beta}\times\beta^{e},
onde:
  • cada d_{i} é um dígito na base \beta, ou seja d_{i}\in\{0,1,\dots,\beta-1\};
  • o primeiro dígito não é zero: d_{1}\in\{1,\dots,\beta-1\} (isso garante a normalização);
  • o expoente e varia no intervalo inteiro m\le e\le M.
    Aqui (0.d_{1}d_{2}\dots d_{p})_{\beta} é a mantissa (ou significando) e tem exatamente p dígitos na parte fracionária em base \beta. Vou explicar em seguida como calcular o valor numérico dessa mantissa.

Passo 3

Calculemos o valor numérico da mantissa geral (0.d_{1}d_{2}\dots d_{p})_{\beta}. Por definição de notação posicional em base \beta temos
(0.d_{1}d_{2}\dots d_{p})_{\beta}=\sum_{i=1}^{p} d_{i}\,\beta^{-i}.
Cada termo d_{i}\,\beta^{-i} significa que o dígito d_{i} contribui com d_{i} unidades na posição \beta^{-i}. Note que, por causa da normalização, a mantissa está no intervalo
\beta^{-1}\le (0.d_{1}\dots d_{p})_{\beta} < 1.
Agora queremos o maior valor possível dessa mantissa (porque o enunciado dá a expressão que corresponde ao maior número representável; vamos mostrar explicitamente como aparece). O maior valor ocorre quando cada dígito d_{i} é o máximo possível, isto é d_{i}=\beta-1 para todo i. Substituindo,
(0.(\beta-1)(\beta-1)\dots(\beta-1))_{\beta}=\sum_{i=1}^{p} (\beta-1)\beta^{-i}.

Passo 4

Simplificamos a soma do passo anterior. Factorizando (\beta-1),
\sum_{i=1}^{p} (\beta-1)\beta^{-i}=(\beta-1)\sum_{i=1}^{p}\beta^{-i}.
A soma \sum_{i=1}^{p}\beta^{-i} é uma progressão geométrica com primeira parcela \beta^{-1} e razão \beta^{-1}. A soma de uma progressão geométrica finita nos dá
\sum_{i=1}^{p}\beta^{-i}=\beta^{-1}\frac{1-\beta^{-p}}{1-\beta^{-1}}.
Substituindo na expressão anterior,
(\beta-1)\sum_{i=1}^{p}\beta^{-i}=(\beta-1)\beta^{-1}\frac{1-\beta^{-p}}{1-\beta^{-1}}.
Agora usamos 1-\beta^{-1}=\dfrac{\beta-1}{\beta}. Substituindo isso e simplificando os fatores (\beta-1) e \beta^{-1}, obtemos
(\beta-1)\beta^{-1}\frac{1-\beta^{-p}}{1-\beta^{-1}}=1-\beta^{-p}.
Portanto o maior valor possível da mantissa é
(0.(\beta-1)\dots(\beta-1))_{\beta}=1-\beta^{-p}.

Passo 5

Para obter o maior número positivo representável no sistema, além de maximizar a mantissa devemos também escolher o maior expoente permitido, que é e=M. Justificativa: para números positivos da forma s\beta^{e} (onde s é a mantissa), aumentar e aumenta o valor quando s>0. Como e é limitado superiormente por M, o maior valor obtido toma e=M. Assim o maior número positivo representável (produto da mantissa máxima pela potência \beta^{M}) é
N_{\max}=\beta^{M}\left(1-\beta^{-p}\right).

Passo 6

Resumo final e exemplo rápido para ver na prática: se, por exemplo, \beta=10, p=3 e M=2, então a mantissa máxima é 1-10^{-3}=0{,}999 e o maior número representável é 10^{2}\cdot 0{,}999=99{,}9, que bate com a fórmula acima. Portanto chegamos exatamente à expressão pedida.

Resposta

N_{\max}=\beta^{M}\left(1-\beta^{-p}\right)

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