Dado um sistema de aritmética de ponto flutuante
, demonstre que
o menor número positivo que pode ser representado nesse sistema é
o menor número positivo que pode ser representado nesse sistema é
Passo 1
O enunciado pede: demonstre que o menor número positivo que pode ser representado no sistema de ponto flutuante
é
Informações dadas (que usaremos):
é a base do sistema com
;
é o número de dígitos (precisão) da mantissa;
e
são, respectivamente, o menor e o maior expoente permitidos. Não há outras informações externas ao enunciado.
Passo 2
Vamos primeiro esclarecer o formato dos números representáveis nesse sistema (isso não é solução ainda, é só definição para entender o que manipular). Em
um número não nulo normalizado tem a forma
onde:
- cada
é um dígito na base , ou seja ; - o primeiro dígito não é zero:
(isso garante a normalização); - o expoente
varia no intervalo inteiro .
Aquié a mantissa (ou significando) e tem exatamente dígitos na parte fracionária em base . Vou explicar em seguida como calcular o valor numérico dessa mantissa.
Passo 3
Calculemos o valor numérico da mantissa geral
. Por definição de notação posicional em base
temos
Cada termo
significa que o dígito
contribui com
unidades na posição
. Note que, por causa da normalização, a mantissa está no intervalo
Agora queremos o maior valor possível dessa mantissa (porque o enunciado dá a expressão que corresponde ao maior número representável; vamos mostrar explicitamente como aparece). O maior valor ocorre quando cada dígito
é o máximo possível, isto é
para todo
. Substituindo,
Passo 4
Simplificamos a soma do passo anterior. Factorizando
,
A soma
é uma progressão geométrica com primeira parcela
e razão
. A soma de uma progressão geométrica finita nos dá
Substituindo na expressão anterior,
Agora usamos
. Substituindo isso e simplificando os fatores
e
, obtemos
Portanto o maior valor possível da mantissa é
Passo 5
Para obter o maior número positivo representável no sistema, além de maximizar a mantissa devemos também escolher o maior expoente permitido, que é
. Justificativa: para números positivos da forma
(onde
é a mantissa), aumentar
aumenta o valor quando
. Como
é limitado superiormente por
, o maior valor obtido toma
. Assim o maior número positivo representável (produto da mantissa máxima pela potência
) é
Passo 6
Resumo final e exemplo rápido para ver na prática: se, por exemplo,
,
e
, então a mantissa máxima é
e o maior número representável é
, que bate com a fórmula acima. Portanto chegamos exatamente à expressão pedida.