Dado um triângulo ABC , a bissetriz interna de \angle \mathrm{B} e a bissetriz externa de \angle \mathrm{C} se intersectam em D . Por D , uma paralela à reta B C intersecta a reta A C em L e a reta A B em M. Se as medidas de LC e MB são 5 e 7, respectivamente, determine a medida do segmento LM.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC e diz que a bissetriz interna de \angle B e a bissetriz externa de \angle C se cortam em D. A partir de D traça-se uma reta paralela a BC que corta AC em L e AB em M. Foram dadas as medidas \,LC=5\,$ e \(\,MB=7. Pede-se a medida do segmento LM.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • D é a interseção da bissetriz interna de B com a bissetriz externa de C.
  • A reta DM\!L é paralela a BC.
  • L\in AC e M\in AB.
  • LC=5 e MB=7.
  • Objetivo: encontrar LM.)

Passo 2

Vamos colocar notação para facilitar: denote
a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB.
Como ML\parallel BC, os triângulos AML e ABC são semelhantes (mesmo vértice em A e lados correspondentes paralelos). Seja
k=\frac{AM}{AB}=\frac{AL}{AC}.
Da semelhança obtemos
AM = k c,\quad AL = k b,\quad ML = k a.
Como MB=AB-AM e LC=AC-AL, temos
MB=(1-k)c,\qquad LC=(1-k)b.
Portanto
\frac{MB}{LC}=\frac{c}{b}.
Com os valores numéricos dados MB=7 e LC=5 obtemos imediatamente
\frac{c}{b}=\frac{MB}{LC}=\frac{7}{5}.
Isto significa que as proporções dos lados AB:AC são c:b=7:5. Mas ainda falta relacionar k com a,b,c para achar ML=k a.

Passo 3

Agora vamos usar a informação sobre D: a bissetriz interna de B e a bissetriz externa de C se encontram em D. Isso caracteriza D como o ex-centro relativo ao vértice B (o centro da excírculo tangente ao lado AC e às extensões de AB e BC). Um fato útil (que vamos usar abaixo) é que as coordenadas de D podem ser obtidas como uma combinação ponderada dos vértices com pesos a,-b,c (barycentric/excentral): em coordenadas cartesianas adequadas (veremos em seguida) isso conduzirá a fórmulas simples para MB e LC.
Não é preciso dominar teoria avançada de coordenadas para acompanhar a dedução a seguir: a ideia é usar coordenadas simples (colocar A na origem e B no eixo x) e calcular a interseção do ex-centro com a reta paralela a BC. As contas simplificam muito e produzem expressões claras para MB e LC.

Passo 4

Escolhemos coordenadas convenientes: ponha A=(0,0), B=(c,0) e C=(b\cos\alpha,b\sin\alpha), onde \alpha=\angle A. Assim AB=c e AC=b. Denote também
d=a-b+c.
(Esse d aparecerá naturalmente nas expressões abaixo.)
Como D é o ex-centro relativo a B, suas coordenadas cartesianas vêm, por essa construção, como
D=\frac{a\cdot A - b\cdot B + c\cdot C}{a-b+c}=\frac{-bB + cC}{d},
isto é, usando A=(0,0), B=(c,0), C=(b\cos\alpha,b\sin\alpha),
x_D=\frac{-b\cdot c + c\cdot b\cos\alpha}{d}=\frac{bc(\cos\alpha-1)}{d},\qquad y_D=\frac{c\cdot b\sin\alpha}{d}=\frac{bc\sin\alpha}{d}.

Passo 5

A reta ML passa por D e é paralela a BC. O vetor diretor de BC é
\vec{BC}=(b\cos\alpha-c,\; b\sin\alpha).
A equação paramétrica da reta DM\!L é, a partir de D, na direção de \vec{BC}. Para encontrar M (interseção com o eixo AB, ou seja y=0) usamos a forma ponto-declive: a interseção M satisfaz
0-y_D=\frac{b\sin\alpha}{\,b\cos\alpha-c\,}\,(x_M-x_D).
Isolando x_M (e substituindo x_D,y_D das fórmulas do passo anterior), onde as contas simplificam, obtemos (as simplificações são diretas e cancelam termos semelhantes):
x_M=\frac{c(c-b)}{d}.
Como B=(c,0), o comprimento MB é
MB = c - x_M = c-\frac{c(c-b)}{d}=\frac{ac}{d}.
Assim chegamos a uma expressão muito simples:
MB=\frac{a c}{a-b+c}.

Passo 6

De forma análoga (ou repetindo o cálculo para a interseção com a reta AC), obtém-se
LC=\frac{a b}{a-b+c}.
(Quem preferir pode verificar fazendo o mesmo processo de interseção com a reta AC; o resultado é análogo ao do passo anterior e simétrico em b e c.)
Observando as duas fórmulas,
MB=\frac{a c}{d},\qquad LC=\frac{a b}{d},
vemos imediatamente que
MB-LC=\frac{a c}{d}-\frac{a b}{d}=\frac{a(c-b)}{d}.

Passo 7

Recordando que ML=k a e que k=\dfrac{AL}{AC}, podemos obter k a partir de AL=AC-LC=b-LC. Usando LC=\dfrac{ab}{d} obtemos
AL=b-LC=b-\frac{ab}{d}=b\frac{d-a}{d}=b\frac{c-b}{d}.
Logo
k=\frac{AL}{AC}=\frac{b\frac{c-b}{d}}{b}=\frac{c-b}{d}.
Portanto
ML = k a = a\frac{c-b}{d} = \frac{a(c-b)}{d}.
Comparando com o resultado do passo 6,
ML = \frac{a(c-b)}{d} = MB - LC.

Passo 8

Concluímos a relação geral
ML = MB - LC.
No enunciado foram dados os valores MB=7 e LC=5. Assim
LM = MB - LC = 7 - 5 = 2.

Resposta

2

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