Dado um triângulo ABC , a bissetriz interna de
e a bissetriz externa de
se intersectam em D . Por D , uma paralela à reta
intersecta a reta
em
e a reta
em
. Se as medidas de LC e MB são 5 e 7, respectivamente, determine a medida do segmento LM.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
e diz que a bissetriz interna de
e a bissetriz externa de
se cortam em
. A partir de
traça-se uma reta paralela a
que corta
em
e
em
. Foram dadas as medidas
. Pede-se a medida do segmento
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é a interseção da bissetriz interna de com a bissetriz externa de . - A reta
é paralela a . -
e . -
e . - Objetivo: encontrar
.)
Passo 2
Vamos colocar notação para facilitar: denote
Como
, os triângulos
e
são semelhantes (mesmo vértice em
e lados correspondentes paralelos). Seja
Da semelhança obtemos
Como
e
, temos
Portanto
Com os valores numéricos dados
e
obtemos imediatamente
Isto significa que as proporções dos lados
são
. Mas ainda falta relacionar
com
para achar
.
Passo 3
Agora vamos usar a informação sobre
: a bissetriz interna de
e a bissetriz externa de
se encontram em
. Isso caracteriza
como o ex-centro relativo ao vértice
(o centro da excírculo tangente ao lado
e às extensões de
e
). Um fato útil (que vamos usar abaixo) é que as coordenadas de
podem ser obtidas como uma combinação ponderada dos vértices com pesos
(barycentric/excentral): em coordenadas cartesianas adequadas (veremos em seguida) isso conduzirá a fórmulas simples para
e
.
Não é preciso dominar teoria avançada de coordenadas para acompanhar a dedução a seguir: a ideia é usar coordenadas simples (colocar
na origem e
no eixo
) e calcular a interseção do ex-centro com a reta paralela a
. As contas simplificam muito e produzem expressões claras para
e
.
Passo 4
Escolhemos coordenadas convenientes: ponha
,
e
, onde
. Assim
e
. Denote também
(Esse
aparecerá naturalmente nas expressões abaixo.)
Como
é o ex-centro relativo a
, suas coordenadas cartesianas vêm, por essa construção, como
isto é, usando
,
,
,
Passo 5
A reta
passa por
e é paralela a
. O vetor diretor de
é
A equação paramétrica da reta
é, a partir de
, na direção de
. Para encontrar
(interseção com o eixo
, ou seja
) usamos a forma ponto-declive: a interseção
satisfaz
Isolando
(e substituindo
das fórmulas do passo anterior), onde as contas simplificam, obtemos (as simplificações são diretas e cancelam termos semelhantes):
Como
, o comprimento
é
Assim chegamos a uma expressão muito simples:
Passo 6
De forma análoga (ou repetindo o cálculo para a interseção com a reta
), obtém-se
(Quem preferir pode verificar fazendo o mesmo processo de interseção com a reta
; o resultado é análogo ao do passo anterior e simétrico em
e
.)
Observando as duas fórmulas,
vemos imediatamente que
Passo 7
Recordando que
e que
, podemos obter
a partir de
. Usando
obtemos
Logo
Portanto
Comparando com o resultado do passo 6,
Passo 8
Concluímos a relação geral
No enunciado foram dados os valores
e
. Assim
Resposta
2