1- Dado um tubo circular de parede fina, com diâmetro D=50 \mathrm{~mm} e comprimento \mathrm{L}=6 \mathrm{~m}. Água escoa através do tubo a uma vazão de \dot{m}=0,40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e sua temperatura na entrada do tubo é de 15^{\circ} \mathrm{C}. Na área externa ao tubo o fluido tem coeficiente de convecção 16 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, a taxa de condução da parede do tubo é considerada desprezível. Determine a temperatura de saída da água, dado que ela sofreu um aquecimento e o fluido externo tem temperatura constante igual a 100^{\circ} \mathrm{C}.
Propriedades: \rho=993 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{cp}=4178 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, \mu=695 \times 10^{-6} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, \mathrm{k}=0,628 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \operatorname{Pr}=4,62
Resposta: \mathrm{Tmsai}=17^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pedido: determinar a temperatura de saída da água ao final do tubo, sabendo que ela entra a 15^\circ\mathrm{C} e é aquecida por um fluido externo a 100^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo externo constante.
  • Dados numéricos (peguei todos do enunciado):
    • Diâmetro do tubo: D=0{,}05\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do tubo: L=6\\ \mathrm{m}.
    • Vazão mássica da água: \dot{m}=0{,}40\\ \mathrm{kg/s}.
    • Temperatura de entrada da água: T_{in}=15^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do fluido externo (constante): T_\infty=100^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de convecção externo: h_o=16\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
    • Propriedades do fluido (água, avaliadas aproximadamente nas condições dadas):
      • \rho=993\\ \mathrm{kg/m^3}.
      • c_p=4178\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
      • \mu=695\times10^{-6}\\ \mathrm{N\cdot s/m^2}.
      • k=0{,}628\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
      • \mathrm{Pr}=4{,}62.
Observação do pedido: o enunciado diz que a condução na parede é desprezível (parede fina). Isso significa que a resistência térmica da parede é pequena e pode ser desprezada — logo a resistência total ao calor fica dominada pelas resistências de convecção interna e externa em série. No entanto, um dos dois coeficientes pode dominar (ser bem menor) e controlar a troca térmica.

Passo 2

Determine a velocidade média do escoamento e o número de Reynolds — isto nos diz se o escoamento é laminar ou turbulento (e qual correlação usar para Nusselt).
  • Área da seção transversal do tubo:
A_c=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}05)^{2}}{4}=0{,}0019635\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Vazão volumétrica:
\dot{V}=\frac{\dot{m}}{\rho}=\frac{0{,}40}{993}=0{,}000402828\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Velocidade média:
v=\frac{\dot{V}}{A_c}=\frac{0{,}000402828}{0{,}0019635}=0{,}20524\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}=\frac{993\cdot0{,}20524\cdot0{,}05}{695\times10^{-6}}\approx1{,}47\times10^{4}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx1{,}47\times10^{4} — ou seja, escoamento em regime turbulento (geralmente \mathrm{Re}>4000). Portanto usaremos uma correlação para convecção interna em tubo no regime turbulento.

Passo 3

Escolha da correlação para o número de Nusselt e explicação do porquê.
Para escoamento turbulento em tubos lisos e quando o fluido está sendo aquecido (paredes mais quentes que o fluido), a correlação prática e simples é a de Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4}.
Explicando a fórmula:
  • \mathrm{Nu} é o número de Nusselt, adimensional, que relaciona coeficiente convectivo interno h_i com condutividade térmica do fluido: h_i=\mathrm{Nu}\,k/D.
  • A fórmula é válida para tubos turbulentos, números de Prandtl da ordem dos dados e fluxo completamente desenvolvido termicamente ou em comprimento suficiente; é a escolha padrão em muitos exercícios práticos por ser simples e razoavelmente precisa.

Passo 4

Calcule \mathrm{Nu} e o coeficiente convectivo interno h_i usando a correlação.
  • Calcule \mathrm{Re}^{0{,}8} e \mathrm{Pr}^{0{,}4}:
\mathrm{Re}^{0{,}8}\approx(1{,}467\times10^{4})^{0{,}8}\approx2{,}149{,}5, \qquad \mathrm{Pr}^{0{,}4}\approx(4{,}62)^{0{,}4}\approx1{,}844.
  • Número de Nusselt:
\mathrm{Nu}=0{,}023\cdot2{,}149{,}5\cdot1{,}844\approx91{,}23.
  • Coeficiente convectivo interno:
h_i=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}=\frac{91{,}23\cdot0{,}628}{0{,}05}\approx1{,}145{,}2\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Comentário prático: h_i é muito maior que h_o=16\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}, logo a resistência externa domina a troca térmica (a água interna “transporta” calor bem mais eficientemente, a limitação é a convecção externa).

Passo 5

Calcule o coeficiente global de transferência de calor U, desprezando a resistência de condução da parede (parede fina).
Quando as resistências estão em série (convecção interna e externa), tem-se:
\frac{1}{U}=\frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_o}.
Substituindo:
\frac{1}{U}=\frac{1}{1145{,}2}+\frac{1}{16}\approx0{,}0008732+0{,}0625=0{,}0633732,
logo
U\approx\frac{1}{0{,}0633732}\approx15{,}783\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Observação: por h_i\gg h_o obtemos U muito próximo de h_o; isso confirma que a convecção externa limita a transferência de calor.

Passo 6

Monte o balanço de energia e resolva a equação para temperatura ao longo do tubo.
Considere um elemento de comprimento dx. A taxa de calor transferida da fronteira externa para a água através da superfície lateral é
\delta \dot{Q}=U\,P\,(T_\infty-T)\,dx,
onde P é o perímetro interno pelo qual ocorre transferência (para tubo circular P=\pi D) e T(x) é a temperatura média da água naquele ponto. A variação de energia da massa que flui é
\delta \dot{Q}=\dot{m} c_p\,dT.
Igualando e rearranjando:
\dot{m} c_p\,\frac{dT}{dx}=U\,P\,(T_\infty-T).
Esta é uma equação diferencial linear de primeiro grau. Resolvend0-a (condição T(0)=T_{in}):
T(x)=T_\infty-\bigl(T_\infty-T_{in}\bigr)\exp\!\left(-\frac{U P}{\dot{m} c_p}\,x\right).
A temperatura de saída (em x=L) é:
T_{out}=T_\infty-\bigl(T_\infty-T_{in}\bigr)\exp\!\left(-\frac{U P L}{\dot{m} c_p}\right).
Explicação das variáveis:
  • P=\pi D é o perímetro interno (m).
  • U é o coeficiente global (W/m^2K).
  • \dot{m}c_p é a capacidade térmica mássica do fluido (W/K).
  • O termo \dfrac{U P L}{\dot{m} c_p} é adimensional e equivale ao NTU (número de unidades térmicas) para este caso com um dos fluidos a temperatura constante.

Passo 7

Calcule numericamente tudo e obtenha T_{out}.
  • Perímetro:
P=\pi D=\pi\cdot0{,}05=0{,}1570796\\ \mathrm{m}.
  • Área de troca (superfície lateral):
A_s=P\,L=0{,}1570796\cdot6=0{,}9424778\\ \mathrm{m^2}.
  • Produto U A_s:
U A_s=15{,}783\cdot0{,}9424778\approx14{,}871\\ \mathrm{W/K}.
  • Capacidade térmica mássica:
\dot{m} c_p=0{,}40\cdot4178=1671{,}2\\ \mathrm{W/K}.
  • Expoente (NTU):
\frac{U P L}{\dot{m} c_p}=\frac{U A_s}{\dot{m} c_p}=\frac{14{,}871}{1671{,}2}\approx0{,}0089009.
  • Fator exponencial:
\exp\!\left(-\frac{U P L}{\dot{m} c_p}\right)\approx e^{-0{,}0089009}\approx0{,}99113.
  • Finalmente, temperatura de saída:
T_{out}=100-\bigl(100-15\bigr)\cdot0{,}99113=100-85\cdot0{,}99113\approx15{,}7536^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente:
T_{out}\approx15{,}8^\circ\mathrm{C}.
Comentário motivador: deu pouca elevação porque a área lateral e o tempo de permanência são pequenos e o coeficiente externo h_o é baixo (16), ou seja, o aquecimento é limitado; portanto, a água só aquece cerca de 0{,}8^\circ\mathrm{C} ao longo dos 6\\ \mathrm{m}.

Resposta

T_{saída}=15{,}8^\circ\mathrm{C}í

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