Dado um vetor
, suponha que
onde
e
são não nulos. Determinar os valores de
e
sabendo que:
(i)
e
possuem comprimento igual a 1 ;
(ii)
e
são ortogonais;
(iii) o ângulo entre
e
é de
.
(i)
(ii)
(iii) o ângulo entre
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dado:
. - Informação 1:
. (todos de comprimento 1) - Informação 2:
e são ortogonais, ou seja . - Informação 3: o ângulo entre
e é . Isso significa que .
O que pedir: determinar os valores de
e
.
Passo 2
Relembrando um conceito útil (aula rápida): produto escalar e projeção.
- Para quaisquer vetores
e vale , onde é o ângulo entre eles. - Se
são ortonormais (unitários e ortogonais), e , então e . Aqui usamos a propriedade distributiva do produto escalar e o fato de .
Aplicando essa ideia: como
e
, se fazemos produto escalar de ambos os lados de
com
, obtemos
Portanto
.
Passo 3
Usando a informação do ângulo entre
e
:
como e o ângulo é
, temos
como
Lembrando que
, segue que
Passo 4
Agora vamos achar
. Use a norma de
:
.
Fazendo produto escalar da expressão consigo mesma,
Fazendo produto escalar da expressão
Desenvolvendo e usando
e
,
Como
, temos
Passo 5
Substituímos
na equação da norma:
Logo
Tomando raiz quadrada,
Comentários didáticos e geométricos (breve): o sinal de
não é determinado apenas pelo ângulo entre
e
. Esse ângulo fixa a componente de
na direção de
(que ficou
), mas a componente na direção de
pode ser positiva ou negativa dependendo de em que “lado” de
a projeção de
cair — o enunciado não especificou essa orientação. Assim existem duas possíveis soluções para
.