Dado um vetor \vec{w}, suponha que \vec{w}=\lambda_{1} \vec{u}+\lambda_{2} \vec{v} onde \vec{u} e \vec{v} são não nulos. Determinar os valores de \lambda_{1} e \lambda_{2} sabendo que:
(i) \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} possuem comprimento igual a 1 ;
(ii) \vec{u} e \vec{v} são ortogonais;
(iii) o ângulo entre \vec{u} e \vec{w} é de 60^{\circ}.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: \vec{w}=\lambda_{1}\vec{u}+\lambda_{2}\vec{v}.
  • Informação 1: \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=\|\vec{w}\|=1. (todos de comprimento 1)
  • Informação 2: \vec{u} e \vec{v} são ortogonais, ou seja \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
  • Informação 3: o ângulo entre \vec{u} e \vec{w} é 60^\circ. Isso significa que \vec{u}\cdot\vec{w}=\|\vec{u}\|\|\vec{w}\|\cos 60^\circ.
O que pedir: determinar os valores de \lambda_{1} e \lambda_{2}.

Passo 2

Relembrando um conceito útil (aula rápida): produto escalar e projeção.
  • Para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b} vale \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles.
  • Se \vec{e}_1,\vec{e}_2 são ortonormais (unitários e ortogonais), e \vec{x}=\alpha_1\vec{e}_1+\alpha_2\vec{e}_2, então \alpha_1=\vec{e}_1\cdot\vec{x} e \alpha_2=\vec{e}_2\cdot\vec{x}. Aqui usamos a propriedade distributiva do produto escalar e o fato de \vec{e}_i\cdot\vec{e}_j=\delta_{ij}.
Aplicando essa ideia: como \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e \|\vec{u}\|=1, se fazemos produto escalar de ambos os lados de \vec{w}=\lambda_{1}\vec{u}+\lambda_{2}\vec{v} com \vec{u}, obtemos
\vec{u}\cdot\vec{w}=\lambda_{1}\,\vec{u}\cdot\vec{u}+\lambda_{2}\,\vec{u}\cdot\vec{v}=\lambda_{1}\cdot 1 + \lambda_{2}\cdot 0=\lambda_{1}.
Portanto \lambda_{1}=\vec{u}\cdot\vec{w}.

Passo 3

Usando a informação do ângulo entre \vec{u} e \vec{w}:
como \|\vec{u}\|=\|\vec{w}\|=1 e o ângulo é 60^\circ, temos
\vec{u}\cdot\vec{w}=\|\vec{u}\|\|\vec{w}\|\cos 60^\circ = 1\cdot 1\cdot \cos 60^\circ.
Lembrando que \cos 60^\circ=\frac{1}{2}, segue que
\lambda_{1}=\vec{u}\cdot\vec{w}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora vamos achar \lambda_{2}. Use a norma de \vec{w}: \|\vec{w}\|^{2}=\vec{w}\cdot\vec{w}.
Fazendo produto escalar da expressão \vec{w}=\lambda_{1}\vec{u}+\lambda_{2}\vec{v} consigo mesma,
\vec{w}\cdot\vec{w}=(\lambda_{1}\vec{u}+\lambda_{2}\vec{v})\cdot(\lambda_{1}\vec{u}+\lambda_{2}\vec{v}).
Desenvolvendo e usando \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=1,
\|\vec{w}\|^{2}=\lambda_{1}^{2}\,\vec{u}\cdot\vec{u}+2\lambda_{1}\lambda_{2}\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\lambda_{2}^{2}\,\vec{v}\cdot\vec{v} =\lambda_{1}^{2}+0+\lambda_{2}^{2}=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}.
Como \|\vec{w}\|=1, temos
1=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}.

Passo 5

Substituímos \lambda_{1}=\tfrac{1}{2} na equação da norma:
1=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\lambda_{2}^{2}=\tfrac{1}{4}+\lambda_{2}^{2}.
Logo
\lambda_{2}^{2}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Tomando raiz quadrada,
\lambda_{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
Comentários didáticos e geométricos (breve): o sinal de \lambda_{2} não é determinado apenas pelo ângulo entre \vec{u} e \vec{w}. Esse ângulo fixa a componente de \vec{w} na direção de \vec{u} (que ficou \tfrac{1}{2}), mas a componente na direção de \vec{v} pode ser positiva ou negativa dependendo de em que “lado” de \vec{u} a projeção de \vec{w} cair — o enunciado não especificou essa orientação. Assim existem duas possíveis soluções para \lambda_{2}.

Resposta

\lambda_{1}=\dfrac{1}{2}
\lambda_{2}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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