Dados os pontos A=(1,-2), B=(-1,2) mostre que o vetor \overrightarrow{A B} é paralelo a reta y=-2 x.
Passo 1
O enunciado dá os pontos \,A=(1,-2)\, e \,B=(-1,2)\, e pede para mostrar que o vetor \overrightarrow{AB} é paralelo à reta \,y=-2x\,.
Informações relevantes fornecidas:
Coordenadas de A: \,x_A=1,\;y_A=-2\,.
Coordenadas de B: \,x_B=-1,\;y_B=2\,.
A reta cuja paralelismo deve ser verificado é \,y=-2x\,.
Passo 2
Definição e fórmula que vou usar (explicada passo a passo). O vetor que vai de A para B é o deslocamento das coordenadas de A até as de B. Em componentes:
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
Aqui \,x_A e \,y_A são as coordenadas do ponto A, e \,x_B e \,y_B são as do ponto B. Subtrair componente a componente dá o vetor deslocamento.
Passo 3
Calcular cada componente de \overrightarrow{AB} usando os números dados:
x_B-x_A = -1 - 1 = -2,
y_B-y_A = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4.
Portanto
\overrightarrow{AB}=(-2,\;4).
Passo 4
Entender a reta \,y=-2x\, em termos de um vetor diretor. Qualquer reta da forma y=mx tem vetor diretor (1,m), porque tomando o parâmetro t e escrevendo (x,y)=(t,\;mt) obtemos a direção. Assim, para \,y=-2x\, um vetor diretor conveniente é
\mathbf{v}=(1,\;-2).
Esse vetor aponta na direção da reta: mover uma unidade em x produz uma variação de -2 em y.
Passo 5
Comparar \overrightarrow{AB} com o vetor diretor \mathbf{v}. Verifica-se que \overrightarrow{AB} é múltiplo escalar de \mathbf{v}:
-2\cdot(1,\;-2)=(-2,\;4)=\overrightarrow{AB}.
Como \overrightarrow{AB} é um múltiplo escalar de \mathbf{v}, eles são colineares; isto é, \overrightarrow{AB} é paralelo à reta que tem \mathbf{v} como vetor diretor.
Passo 6
Interpretação final e reforço (curto): mostrar que um vetor é paralelo a uma reta pode ser feito de duas formas equivalentes — mostrar que o vetor é múltiplo escalar do vetor diretor da reta (feito acima) ou mostrar que as inclinações (declives) coincidem. Aqui a inclinação de \overrightarrow{AB} é \dfrac{4}{-2}=-2, que é exatamente a inclinação da reta y=-2x. Ambas as observações confirmam o paralelismo.
Resposta
\overrightarrow{AB}=(-2,4)=-2(1,-2), logo \overrightarrow{AB} é paralelo à reta y=-2x.