Dados quatro pontos A=(0,0,0), B=(2,1,0), C=(1,3,0) e D=(1,1,4) :
a) Verifique que A, B, C, D formam um tetraedro não degenerado.
b) Calcule o volume do tetraedro.
c) Encontre o vetor normal ao plano A B C e a distância de D a esse plano.
d) Verifique que V=\frac{1}{3} \cdot A_{\text {base }} \cdot h.
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos no espaço:
A=(0,0,0)
B=(2,1,0)
C=(1,3,0)
D=(1,1,4)
O que o problema pede:
a) Verificar se A,B,C,D formam um tetraedro não degenerado (ou seja, se os quatro pontos não estão todos num mesmo plano).
b) Calcular o volume do tetraedro determinado por esses pontos.
c) Encontrar um vetor normal ao plano ABC e calcular a distância de D a esse plano.
d) Verificar a fórmula V=\dfrac{1}{3}\cdot A_{\text{base}}\cdot h, onde A_{\text{base}} é a área da base triangular ABC e h é a altura relativa a essa base.
Todos os dados necessários estão nas coordenadas acima; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro calculo vetores que saem de A para os outros pontos. Isso é útil porque volume e norma do plano são expressos em termos desses vetores.
Definições e notação: se P=(x_p,y_p,z_p) e Q=(x_q,y_q,z_q), então o vetor \overrightarrow{PQ}=Q-P=(x_q-x_p,\;y_q-y_p,\;z_q-z_p).
Esses três vetores serão usados para testar degenerescência e para cálculos seguintes.
Passo 3
Como verificar que o tetraedro não é degenerado? Método: usar o produto misto (também chamado de produto escalar triplo). Explicação didática:
O produto vetorial (cross product) \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} produz um vetor perpendicular a \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}; sua magnitude \|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\| é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}.
O produto misto (\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot\overrightarrow{w} (ou determinante formado pelas componentes de \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}) mede o volume do paralelepípedo gerado por esses três vetores.
Se o produto misto for zero, os três vetores são coplanares e o tetraedro é degenerado; se for diferente de zero, o tetraedro é não degenerado.
Calcule \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Recordando a fórmula do produto vetorial para \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3):
Como 20\neq 0, os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} não são coplanares, logo os pontos A,B,C,D formam um tetraedro não degenerado.
Passo 4
Calcular o volume do tetraedro. Fórmula usada (explicada):
O volume do paralelepípedo formado por três vetores \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} vindos de um mesmo vértice é |(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot\overrightarrow{w}|.
Um tetraedro formado por esses três vetores (vértices no mesmo vértice inicial) tem volume igual a um sexto desse paralelogramo/paralelepípedo, porque um paralelepípedo pode ser particionado em 6 tetraedros congruentes. Assim:
Aqui usamos \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{w}=\overrightarrow{AD}. Já calculamos o produto misto e obtivemos 20. Então
Portanto o volume do tetraedro é \dfrac{10}{3} (unidades de volume na mesma escala das coordenadas cúbicas).
Passo 5
Encontrar um vetor normal ao plano ABC. Duas formas de ver:
Observação simples: as coordenadas z de A,B,C são todas zero, logo os três pontos estão no plano z=0. Logo um vetor normal é o vetor canônico em z, isto é (0,0,1).
Procedimento vetorial: o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} é um vetor normal ao plano gerado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}; já o calculamos e obtivemos (0,0,5). Esse vetor é paralelo a (0,0,1) (na verdade (0,0,5)=5(0,0,1)).
Calcular a distância de D ao plano ABC. Fórmula usada:
Distância de um ponto P ao plano que passa por A com vetor normal unitário \hat{\mathbf{n}} é |( \overrightarrow{AP}\cdot\hat{\mathbf{n}} )|. Aqui \overrightarrow{AP}=P-A.
Aplicando ao nosso caso: \overrightarrow{AD}=(1,1,4) e \hat{\mathbf{n}}=(0,0,1),
Observação intuitiva: como o plano é z=0 e D tem coordenada z=4, a distância é simplesmente 4.
Passo 7
Verificar a fórmula V=\dfrac{1}{3}\cdot A_{\text{base}}\cdot h.
Para uma pirâmide triangular (tetraedro) a fórmula do volume é V=\dfrac{1}{3}A_{\text{base}}h, onde A_{\text{base}} é a área da face escolhida como base e h é a altura perpendicular da pirâmide até essa base.
Aqui escolhemos a base como o triângulo ABC. A área de um triângulo dados dois vetores que formam seus lados a partir de um vértice é metade da magnitude do produto vetorial desses vetores:
que coincide com o volume calculado no Passo 4. Portanto a fórmula está verificada para este tetraedro.
Resposta
a) Sim — os pontos são não degenerados ((\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD}=20\neq0).
b) V=\dfrac{10}{3}.
c) Vetor normal ao plano ABC: \mathbf{n}=(0,0,5) (vetor normal unitário \hat{\mathbf{n}}=(0,0,1)); distância de D ao plano ABC: 4.
d) Verificado: \dfrac{1}{3}\cdot A_{\text{base}}\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5}{2}\cdot4=\dfrac{10}{3}=V.