Dados quatro pontos A=(0,0,0), B=(2,1,0), C=(1,3,0) e D=(1,1,4) :
a) Verifique que A, B, C, D formam um tetraedro não degenerado.
b) Calcule o volume do tetraedro.
c) Encontre o vetor normal ao plano A B C e a distância de D a esse plano.
d) Verifique que V=\frac{1}{3} \cdot A_{\text {base }} \cdot h.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço:
  • A=(0,0,0)
  • B=(2,1,0)
  • C=(1,3,0)
  • D=(1,1,4)
O que o problema pede:
a) Verificar se A,B,C,D formam um tetraedro não degenerado (ou seja, se os quatro pontos não estão todos num mesmo plano).
b) Calcular o volume do tetraedro determinado por esses pontos.
c) Encontrar um vetor normal ao plano ABC e calcular a distância de D a esse plano.
d) Verificar a fórmula V=\dfrac{1}{3}\cdot A_{\text{base}}\cdot h, onde A_{\text{base}} é a área da base triangular ABC e h é a altura relativa a essa base.
Todos os dados necessários estão nas coordenadas acima; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro calculo vetores que saem de A para os outros pontos. Isso é útil porque volume e norma do plano são expressos em termos desses vetores.
Definições e notação: se P=(x_p,y_p,z_p) e Q=(x_q,y_q,z_q), então o vetor \overrightarrow{PQ}=Q-P=(x_q-x_p,\;y_q-y_p,\;z_q-z_p).
Calcule:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-0,\;1-0,\;0-0)=(2,1,0),
\overrightarrow{AC}=C-A=(1,3,0),
\overrightarrow{AD}=D-A=(1,1,4).
Esses três vetores serão usados para testar degenerescência e para cálculos seguintes.

Passo 3

Como verificar que o tetraedro não é degenerado? Método: usar o produto misto (também chamado de produto escalar triplo). Explicação didática:
  • O produto vetorial (cross product) \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} produz um vetor perpendicular a \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}; sua magnitude \|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\| é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}.
  • O produto misto (\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot\overrightarrow{w} (ou determinante formado pelas componentes de \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}) mede o volume do paralelepípedo gerado por esses três vetores.
  • Se o produto misto for zero, os três vetores são coplanares e o tetraedro é degenerado; se for diferente de zero, o tetraedro é não degenerado.
Calcule \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Recordando a fórmula do produto vetorial para \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3):
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Aplicando a \overrightarrow{AB}=(2,1,0) e \overrightarrow{AC}=(1,3,0):
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1\cdot0-0\cdot3,\;0\cdot1-2\cdot0,\;2\cdot3-1\cdot1)=(0,0,6-1)=(0,0,5).
Agora o produto misto:
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD}=(0,0,5)\cdot(1,1,4)=0\cdot1+0\cdot1+5\cdot4=20.
Como 20\neq 0, os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} não são coplanares, logo os pontos A,B,C,D formam um tetraedro não degenerado.

Passo 4

Calcular o volume do tetraedro. Fórmula usada (explicada):
  • O volume do paralelepípedo formado por três vetores \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} vindos de um mesmo vértice é |(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot\overrightarrow{w}|.
  • Um tetraedro formado por esses três vetores (vértices no mesmo vértice inicial) tem volume igual a um sexto desse paralelogramo/paralelepípedo, porque um paralelepípedo pode ser particionado em 6 tetraedros congruentes. Assim:
V_{\text{tetra}}=\frac{1}{6}\left|(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot\overrightarrow{w}\right|.
Aqui usamos \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{w}=\overrightarrow{AD}. Já calculamos o produto misto e obtivemos 20. Então
V=\frac{1}{6}\cdot |20|=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}.
Portanto o volume do tetraedro é \dfrac{10}{3} (unidades de volume na mesma escala das coordenadas cúbicas).

Passo 5

Encontrar um vetor normal ao plano ABC. Duas formas de ver:
  1. Observação simples: as coordenadas z de A,B,C são todas zero, logo os três pontos estão no plano z=0. Logo um vetor normal é o vetor canônico em z, isto é (0,0,1).
  2. Procedimento vetorial: o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} é um vetor normal ao plano gerado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}; já o calculamos e obtivemos (0,0,5). Esse vetor é paralelo a (0,0,1) (na verdade (0,0,5)=5(0,0,1)).
Portanto um vetor normal ao plano ABC é
\mathbf{n}=(0,0,5).
O vetor normal unitário (de magnitude 1) é
\hat{\mathbf{n}}=\frac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|}=\frac{(0,0,5)}{\sqrt{0^2+0^2+5^2}}=(0,0,1).

Passo 6

Calcular a distância de D ao plano ABC. Fórmula usada:
  • Distância de um ponto P ao plano que passa por A com vetor normal unitário \hat{\mathbf{n}} é |( \overrightarrow{AP}\cdot\hat{\mathbf{n}} )|. Aqui \overrightarrow{AP}=P-A.
Aplicando ao nosso caso: \overrightarrow{AD}=(1,1,4) e \hat{\mathbf{n}}=(0,0,1),
\text{dist}(D,\text{plano }ABC)=\left| \overrightarrow{AD}\cdot\hat{\mathbf{n}} \right|=\left|(1,1,4)\cdot(0,0,1)\right|=|4|=4.
Observação intuitiva: como o plano é z=0 e D tem coordenada z=4, a distância é simplesmente 4.

Passo 7

Verificar a fórmula V=\dfrac{1}{3}\cdot A_{\text{base}}\cdot h.
  • Para uma pirâmide triangular (tetraedro) a fórmula do volume é V=\dfrac{1}{3}A_{\text{base}}h, onde A_{\text{base}} é a área da face escolhida como base e h é a altura perpendicular da pirâmide até essa base.
  • Aqui escolhemos a base como o triângulo ABC. A área de um triângulo dados dois vetores que formam seus lados a partir de um vértice é metade da magnitude do produto vetorial desses vetores:
A_{\text{base}}=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.
Já sabemos \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,0,5), então \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|=5. Assim
A_{\text{base}}=\frac{1}{2}\cdot 5=\frac{5}{2}.
  • A altura h relativa a essa base é a distância de D ao plano ABC, que calculamos como 4.
Agora substituindo na fórmula:
\frac{1}{3}\cdot A_{\text{base}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{2}\cdot 4=\frac{1}{3}\cdot 10=\frac{10}{3},
que coincide com o volume calculado no Passo 4. Portanto a fórmula está verificada para este tetraedro.

Resposta

a) Sim — os pontos são não degenerados ( (\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD}=20\neq0).
b) V=\dfrac{10}{3}.
c) Vetor normal ao plano ABC: \mathbf{n}=(0,0,5) (vetor normal unitário \hat{\mathbf{n}}=(0,0,1)); distância de D ao plano ABC: 4.
d) Verificado: \dfrac{1}{3}\cdot A_{\text{base}}\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5}{2}\cdot4=\dfrac{10}{3}=V.

Exercícios relacionados