Os dados a seguir representam o tempo necessário, em km, as distâncias percorridas por um maratonista em 10 dias de treinamento:
. Nessas condições, pede-se:
a) Identifique e classifique a variável em estudo.
b) Medidas de tendência central e variabilidade.
c) Quartis interpretando cada um.
a) Identifique e classifique a variável em estudo.
b) Medidas de tendência central e variabilidade.
c) Quartis interpretando cada um.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
a) Identificar e classificar a variável em estudo.
b) Calcular medidas de tendência central e de variabilidade.
c) Calcular os quartis e interpretar cada um.
a) Identificar e classificar a variável em estudo.
b) Calcular medidas de tendência central e de variabilidade.
c) Calcular os quartis e interpretar cada um.
Os dados fornecidos, escritos com vírgula decimal, foram interpretados como as distâncias (em quilômetros) percorridas em 10 dias:
Vou usar estes 10 valores tal como extraídos acima para todos os cálculos.
Vou usar estes 10 valores tal como extraídos acima para todos os cálculos.
Passo 2
Ordenar os dados ajuda a calcular mediana e quartis. Dados ordenados (do menor para o maior):
Aqui
(dez observações). Manter a lista ordenada facilita encontrar posições (ex.: 5ª, 6ª observação).
Passo 3
Classificação da variável (a):
- É uma variável cujo valor é uma quantidade numérica de quilômetros, portanto é uma variável quantitativa.
- Como distância pode assumir valores fracionários (ex.:
km), ela é contínua (pode assumir qualquer valor real dentro de um intervalo). - Escala: é em escala de razão (ratio), pois existe um zero verdadeiro (distância zero faz sentido) e relações de razão são significativas (por exemplo,
km é o dobro de km).
Conclusão: a variável é
, em
.
Passo 4
Média (tendência central):
- Fórmula da média aritmética para
observações :
- Aqui
. Somando os dados (usei a lista ordenada ou original, o somatório é o mesmo):
- Portanto a média é
Interpretação prática: em média o maratonista percorreu
km por dia nesses 10 dias.
Passo 5
Mediana e moda:
- Mediana: para
par, a mediana é a média das duas observações centrais (posições e ). Aqui , então usamos a 5ª e 6ª observações da lista ordenada:
Interpretação: metade dos dias teve distância
km e metade
km.
- Moda: é o valor mais frequente. Nesta amostra nenhum valor se repete; portanto não há moda (a distribuição é amodal).
Passo 6
Amplitude (range):
- Fórmula:
. - Aqui
e , então
Interpretação: a maior variação entre dois dias é de
km.
Passo 7
Variância e desvio padrão — conceitos e cálculo:
- Conceito: variância mede, em média, o quadrado das diferenças entre cada observação e a média; desvio padrão é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades dos dados (km), facilitando interpretação.
- Existem duas fórmulas comuns:
- Variância populacional (quando os dados constituem toda a população de interesse):
- Variância amostral (estimador para quando os dados são uma amostra de uma população maior; divide por
):
- Neste exercício temos os 10 dias observados (considerados os dados disponíveis), então é perfeitamente razoável calcular a variância populacional. Vou calcular a populacional e, para referência, também mostro a amostral.
Cálculo das diferenças ao quadrado (com
):
Soma dos quadrados das diferenças:
- Variância populacional:
- Desvio padrão populacional:
- Para referência, variância amostral e desvio amostral:
Interpretação: tipicamente os dias se afastam da média em cerca de
a
km.
Passo 8
Quartis e interpretação (c):
- Método usado: como
é par, divido a lista ordenada em duas metades iguais: as 5 primeiras observações formam a metade inferior e as 5 últimas a metade superior. O quartil é a mediana da metade inferior; é a mediana da metade superior; é a mediana geral já calculada. - Metade inferior (1ª à 5ª):
A mediana dessa metade (3ª posição dessa metade) é Logo
- Mediana geral já calculada:
- Metade superior (6ª à 10ª):
A mediana dessa metade (3ª posição da metade superior) é Logo
- Intervalo interquartil (IQR):
Interpretações práticas dos quartis:
-
km: dos dias apresentaram distância menor ou igual a km. Em outras palavras, 1 em cada 4 dias o maratonista correu até aproximadamente km. -
km (mediana): dos dias tiveram distância menor ou igual a km; metade dos dias ficou abaixo e metade acima desse valor. -
km: dos dias apresentaram distância menor ou igual a km; somente dos dias superaram km.
Verificação rápida de outliers (regra dos 1,5·IQR):
Nenhuma observação está fora do intervalo
, portanto não há outlier segundo essa regra.
Resposta
(a) Variável: quantitativa contínua (distância em km), escala de razão.
(b) Média km; Mediana
km; Moda: sem moda; Amplitude
km; Variância populacional
; Desvio padrão populacional
km (para referência, variância amostral
,
km).
(c) km (25% dos dias ≤
km);
km (mediana, 50% ≤
km);
km (75% dos dias ≤
km); IQR
km.
(b) Média
(c)