Os dados a seguir representam o tempo necessário, em km, as distâncias percorridas por um maratonista em 10 dias de treinamento: 9,610,812,912,2 14,211,511,710,613,110,4. Nessas condições, pede-se:
a) Identifique e classifique a variável em estudo.
b) Medidas de tendência central e variabilidade.
c) Quartis interpretando cada um.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
a) Identificar e classificar a variável em estudo.
b) Calcular medidas de tendência central e de variabilidade.
c) Calcular os quartis e interpretar cada um.
Os dados fornecidos, escritos com vírgula decimal, foram interpretados como as distâncias (em quilômetros) percorridas em 10 dias:
\;9,6,\;10,8,\;12,9,\;12,2,\;14,2,\;11,5,\;11,7,\;10,6,\;13,1,\;10,4.
Vou usar estes 10 valores tal como extraídos acima para todos os cálculos.

Passo 2

Ordenar os dados ajuda a calcular mediana e quartis. Dados ordenados (do menor para o maior):
9,6,\;10,4,\;10,6,\;10,8,\;11,5,\;11,7,\;12,2,\;12,9,\;13,1,\;14,2.
Aqui n=10 (dez observações). Manter a lista ordenada facilita encontrar posições (ex.: 5ª, 6ª observação).

Passo 3

Classificação da variável (a):
  • É uma variável cujo valor é uma quantidade numérica de quilômetros, portanto é uma variável quantitativa.
  • Como distância pode assumir valores fracionários (ex.: 9,6 km), ela é contínua (pode assumir qualquer valor real dentro de um intervalo).
  • Escala: é em escala de razão (ratio), pois existe um zero verdadeiro (distância zero faz sentido) e relações de razão são significativas (por exemplo, 14,2 km é o dobro de 7,1 km).
Conclusão: a variável é \text{quantitativa contínua}í, em \text{escala de razão}ã.

Passo 4

Média (tendência central):
  • Fórmula da média aritmética para n observações x_1,\dots,x_n:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
  • Aqui n=10. Somando os dados (usei a lista ordenada ou original, o somatório é o mesmo):
\sum x_i = 9,6+10,4+10,6+10,8+11,5+11,7+12,2+12,9+13,1+14,2 = 117,0.
  • Portanto a média é
\bar{x}=\frac{117,0}{10}=11,7\\ \text{(km)}.
Interpretação prática: em média o maratonista percorreu \,11,7 km por dia nesses 10 dias.

Passo 5

Mediana e moda:
  • Mediana: para n par, a mediana é a média das duas observações centrais (posições n/2 e n/2+1). Aqui n=10, então usamos a 5ª e 6ª observações da lista ordenada:
\text{5ª}=11,5,\quad \text{6ª}=11,7.ªª
\text{Mediana}=\frac{11,5+11,7}{2}=11,6\\ \text{(km)}.
Interpretação: metade dos dias teve distância \le 11,6 km e metade \ge 11,6 km.
  • Moda: é o valor mais frequente. Nesta amostra nenhum valor se repete; portanto não há moda (a distribuição é amodal).

Passo 6

Amplitude (range):
  • Fórmula: \text{Amplitude} = \max(x_i)-\min(x_i).
  • Aqui \max=14,2 e \min=9,6, então
\text{Amplitude}=14,2-9,6=4,6\\ \text{(km)}.
Interpretação: a maior variação entre dois dias é de 4,6 km.

Passo 7

Variância e desvio padrão — conceitos e cálculo:
  • Conceito: variância mede, em média, o quadrado das diferenças entre cada observação e a média; desvio padrão é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades dos dados (km), facilitando interpretação.
  • Existem duas fórmulas comuns:
    • Variância populacional (quando os dados constituem toda a população de interesse):
    \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
    • Variância amostral (estimador para quando os dados são uma amostra de uma população maior; divide por n-1):
    s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
  • Neste exercício temos os 10 dias observados (considerados os dados disponíveis), então é perfeitamente razoável calcular a variância populacional. Vou calcular a populacional e, para referência, também mostro a amostral.
Cálculo das diferenças ao quadrado (com \bar{x}=11,7):
\begin{aligned} (9,6-11,7)^2 &= (-2,1)^2 = 4,41\\\ (10,4-11,7)^2 &= (-1,3)^2 = 1,69\\\ (10,6-11,7)^2 &= (-1,1)^2 = 1,21\\\ (10,8-11,7)^2 &= (-0,9)^2 = 0,81\\\ (11,5-11,7)^2 &= (-0,2)^2 = 0,04\\\ (11,7-11,7)^2 &= 0^2 = 0\\\ (12,2-11,7)^2 &= 0,5^2 = 0,25\\\ (12,9-11,7)^2 &= 1,2^2 = 1,44\\\ (13,1-11,7)^2 &= 1,4^2 = 1,96\\\ (14,2-11,7)^2 &= 2,5^2 = 6,25 \end{aligned}
Soma dos quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 18,06.
  • Variância populacional:
\sigma^2=\frac{18,06}{10}=1,806\\ \text{(km}^2\text{)}.
  • Desvio padrão populacional:
\sigma=\sqrt{1,806}\approx 1,344\\ \text{(km)}.
  • Para referência, variância amostral e desvio amostral:
s^2=\frac{18,06}{9}\approx 2,0067,\qquad s\approx \sqrt{2,0067}\approx 1,417\\ \text{(km)}.
Interpretação: tipicamente os dias se afastam da média em cerca de 1{,}3 a 1{,}4 km.

Passo 8

Quartis e interpretação (c):
  • Método usado: como n é par, divido a lista ordenada em duas metades iguais: as 5 primeiras observações formam a metade inferior e as 5 últimas a metade superior. O quartil Q_1 é a mediana da metade inferior; Q_3 é a mediana da metade superior; Q_2 é a mediana geral já calculada.
  • Metade inferior (1ª à 5ª): \;9,6,\;10,4,\;10,6,\;10,8,\;11,5. A mediana dessa metade (3ª posição dessa metade) é \;10,6. Logo
Q_1=10,6\\ \text{(km)}.
  • Mediana geral já calculada:
Q_2=\text{Mediana}=11,6\\ \text{(km)}.
  • Metade superior (6ª à 10ª): \;11,7,\;12,2,\;12,9,\;13,1,\;14,2. A mediana dessa metade (3ª posição da metade superior) é \;12,9. Logo
Q_3=12,9\\ \text{(km)}.
  • Intervalo interquartil (IQR):
\text{IQR}=Q_3-Q_1=12,9-10,6=2,3\\ \text{(km)}.
Interpretações práticas dos quartis:
  • Q_1=10,6 km: 25\% dos dias apresentaram distância menor ou igual a \,10,6 km. Em outras palavras, 1 em cada 4 dias o maratonista correu até aproximadamente 10,6 km.
  • Q_2=11,6 km (mediana): 50\% dos dias tiveram distância menor ou igual a \,11,6 km; metade dos dias ficou abaixo e metade acima desse valor.
  • Q_3=12,9 km: 75\% dos dias apresentaram distância menor ou igual a \,12,9 km; somente 25\% dos dias superaram 12,9 km.
Verificação rápida de outliers (regra dos 1,5·IQR):
\text{limite inferior}=Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}=10,6-1{,}5\cdot2,3=10,6-3,45=7,15.
\text{limite superior}=Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}=12,9+3,45=16,35.
Nenhuma observação está fora do intervalo (7,15,\;16,35), portanto não há outlier segundo essa regra.

Resposta

(a) Variável: quantitativa contínua (distância em km), escala de razão.
(b) Média \bar{x}=11,7 km; Mediana =11,6 km; Moda: sem moda; Amplitude =4,6 km; Variância populacional \sigma^2=1,806\\ \text{km}^2; Desvio padrão populacional \sigma\approx1,344 km (para referência, variância amostral s^2\approx2,0067, s\approx1,417 km).
(c) Q_1=10,6 km (25% dos dias ≤ 10,6 km); Q_2=11,6 km (mediana, 50% ≤ 11,6 km); Q_3=12,9 km (75% dos dias ≤ 12,9 km); IQR =2,3 km.

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