Dados:
- Treliça: material aço, com E=210 GPa, coeficiente de Poisson =0,33 e seções transversais circulares com diâmetro
.
- Pilares: material aço, com
, coeficiente de Poisson =0,33 e seções transversais em Perfis W, com as seguintes dimensões:
,
e área
.
- Estacas: material concreto, com
, seção circular com diâmetro de 300 mm .
- Atrito no solo: varia linearmente com a profundidade, sendo zero no topo das estacas.
Obs: os blocos A e B são considerados rígidos e não apresentam deformações.
O encurtamento dos pilares.
O encurtamento dos pilares.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados extraídos do enunciado e da figura:
- Cargas concentradas verticais: três cargas de
(uma no nó central do caimento e duas nos nós intermediários), totalizando . - Estrutura simétrica (configuração e cargas simétricas).
- Pilares (duas colunas laterais, à esquerda e à direita): seção do tipo W com área
. - Módulo de Young (aço) dos pilares:
. - Comprimento (altura) de cada pilar, entre o topo (vínculo à treliça) e o bloco rígido:
. - Observação: os blocos
e são considerados rígidos (não deformam).
- Cargas concentradas verticais: três cargas de
- O enunciado pede: calcular o encurtamento (compressão axial) dos pilares — ou seja, a deformação vertical
de cada pilar sob as cargas dadas.
Passo 2
Determinar a força axial em cada pilar usando equilíbrio vertical e simetria.
- A soma das forças verticais aplicadas à treliça é
- Como a estrutura e as cargas são simétricas, as reações verticais nos apoios esquerdo e direito são iguais; portanto cada apoio (cada pilar) recebe metade da carga total:
- Conclusão: a força axial de compressão atuante em cada pilar é
.
Passo 3
Converter unidades para trabalhar com a fórmula do encurtamento e apresentar a fórmula usada (Lei de Hooke para deformação axial).
- Fórmula para o encurtamento axial de um membro uniformemente carregado axialmente (Lei de Hooke linear elástico):
onde:
-
é a força axial (em N), -
é o comprimento do pilar (em mm), -
é a área da seção transversal (em ), -
é o módulo de Young (em ). - Converter os dados para unidades coerentes (
e ): -
. -
. -
(fornecido). -
.
-
Passo 4
Calcular passo a passo a tensão, a deformação e o encurtamento e verificar consistência.
- Tensão axial média no pilar:
Calculemos numericamente:
- Deformação axial (adimensional) pela Lei de Hooke:
- Encurtamento correspondente:
- Verificação direta pela fórmula
:
Passo 5
Interpretação final e arredondamento para apresentação típica de engenharia.
- O encurtamento de cada pilar (esquerdo e direito) sob as condições dadas é aproximadamente
. - Observações de engenharia (para atenção na prova): este resultado considera comportamento linear elástico puro do pilar de aço e que todo o carregamento vertical do apoio é transmitido axialmente ao pilar. Como os blocos são rígidos, não há redistribuição por deformação dos blocos. Não foram incluídos efeitos de flambagem (instabilidade), nem deformações adicionais dos estacas ou do solo — apenas o encurtamento axial do pilar metálico foi considerado, como pedido.