Dados os vetores
, calcular
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede para calcular
Vou listar as informações dadas de forma clara:
-
. -
. - A operação pedida é um produto vetorial entre
e o produto vetorial .
Passo 2
Escolha do método: para esse tipo de expressão é muito conveniente usar a identidade do produto vetorial triplo
porque transforma um produto vetorial de produto vetorial em combinações lineares dos vetores
e
com coeficientes escalares (produtos internos). Isso evita ter que expandir muitos determinantes coordenada a coordenada. Vou aplicar essa identidade com
,
e
.
Passo 3
Relembrando e calculando os produtos internos (dot products) que vamos precisar. O produto interno de dois vetores
e
é
Calculemos os produtos internos básicos:
Passo 4
Aplicando a identidade do produto vetorial triplo com
,
,
:
Agora precisamos calcular os dois escalares
e
.
Passo 5
Calcule os dois produtos internos usando linearidade do produto interno:
(Observe que
.)
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão da Passo 4:
Passo 7
Agora calculamos
e
coordenada a coordenada:
Então
Passo 8
Checagem rápida (opcional): se alguém quiser verificar sem a identidade, pode calcular
por determinante, depois calcular
e finalmente o produto vetorial entre esses dois vetores; o resultado coincide com
. A identidade usada aqui encurta bem os cálculos.