Dados os vetores \boldsymbol{a}=(1,2,1), \boldsymbol{b}=(2,1,0), calcular (2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \boldsymbol{a}=(1,2,1) e \boldsymbol{b}=(2,1,0) e pede para calcular
(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \times (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}).
Vou listar as informações dadas de forma clara:
  • \boldsymbol{a}=(1,2,1).
  • \boldsymbol{b}=(2,1,0).
  • A operação pedida é um produto vetorial entre 2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} e o produto vetorial \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}.

Passo 2

Escolha do método: para esse tipo de expressão é muito conveniente usar a identidade do produto vetorial triplo
\boldsymbol{u}\times(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w})=\boldsymbol{v}\,(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w})-\boldsymbol{w}\,(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}),
porque transforma um produto vetorial de produto vetorial em combinações lineares dos vetores \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} com coeficientes escalares (produtos internos). Isso evita ter que expandir muitos determinantes coordenada a coordenada. Vou aplicar essa identidade com \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}, \boldsymbol{v}=\boldsymbol{a} e \boldsymbol{w}=\boldsymbol{b}.

Passo 3

Relembrando e calculando os produtos internos (dot products) que vamos precisar. O produto interno de dois vetores \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3) e \boldsymbol{y}=(y_1,y_2,y_3) é
\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Calculemos os produtos internos básicos:
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1\cdot2+2\cdot1+1\cdot0=2+2+0=4,
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=1^2+2^2+1^2=1+4+1=6,
\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}=2^2+1^2+0^2=4+1+0=5.

Passo 4

Aplicando a identidade do produto vetorial triplo com \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}, \boldsymbol{v}=\boldsymbol{a}, \boldsymbol{w}=\boldsymbol{b}:
(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) =\boldsymbol{a}\,\big((2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}\big) -\boldsymbol{b}\,\big((2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}\big).
Agora precisamos calcular os dois escalares (2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b} e (2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}.

Passo 5

Calcule os dois produtos internos usando linearidade do produto interno:
(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}) =2\cdot4-5=8-5=3,
(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}=2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a})-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}) =2\cdot6-4=12-4=8.
(Observe que \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=4.)

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão da Passo 4:
(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) =\boldsymbol{a}\cdot 3-\boldsymbol{b}\cdot 8 =3\boldsymbol{a}-8\boldsymbol{b}.

Passo 7

Agora calculamos 3\boldsymbol{a} e 8\boldsymbol{b} coordenada a coordenada:
3\boldsymbol{a}=3(1,2,1)=(3,6,3), \qquad 8\boldsymbol{b}=8(2,1,0)=(16,8,0).
Então
3\boldsymbol{a}-8\boldsymbol{b}=(3-16,\;6-8,\;3-0)=(-13,-2,3).

Passo 8

Checagem rápida (opcional): se alguém quiser verificar sem a identidade, pode calcular \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} por determinante, depois calcular 2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} e finalmente o produto vetorial entre esses dois vetores; o resultado coincide com (-13,-2,3). A identidade usada aqui encurta bem os cálculos.

Resposta

(-13,-2,3)

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