Dados os vetores \boldsymbol{a}=(1,2,1), \boldsymbol{b}=(2,1,0), calcular (2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}).
Se \|\boldsymbol{u}\|=\sqrt{5} \mathrm{e}\|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{7} \mathrm{e}\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle=21 calcule $|\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}|.

Passo 1

Enunciado e dados (vou listar tudo claramente):
  • Vetores dados:
    • \boldsymbol{a}=(1,2,1)
    • \boldsymbol{b}=(2,1,0)
  • Pedido 1: calcular (2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}).
  • Pedido 2: sendo \|\boldsymbol{u}\|=\sqrt{5}, \|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{7} e \langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle=21, calcular \|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\|.

Passo 2

Primeiro vamos recolher produtos internos úteis entre \boldsymbol{a} e \boldsymbol{b}. Lembre que o produto escalar de dois vetores \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3) e \boldsymbol{y}=(y_1,y_2,y_3) é
\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Calculemos:
\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 1\cdot2 + 2\cdot1 + 1\cdot0 = 2+2+0 = 4,
\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}\rangle = 1^2+2^2+1^2 = 1+4+1 = 6,
\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\rangle = 2^2+1^2+0^2 = 4+1+0 = 5.

Passo 3

Usaremos a identidade vetorial chamada produto vetorial triplo (identidade de Lagrange):
\boldsymbol{p}\times(\boldsymbol{q}\times\boldsymbol{r})=\boldsymbol{q}\,\langle\boldsymbol{p},\boldsymbol{r}\rangle - \boldsymbol{r}\,\langle\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}\rangle.
Explicando cada termo: \boldsymbol{p},\boldsymbol{q},\boldsymbol{r} são vetores quaisquer; \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar; a identidade transforma um produto vetorial-aninhado num combinação linear dos vetores \boldsymbol{q} e \boldsymbol{r}. Essa identidade reduz bastante trabalho prático.

Passo 4

Aplicando a identidade com
\boldsymbol{p}=2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}, \boldsymbol{q}=\boldsymbol{a}, \boldsymbol{r}=\boldsymbol{b}, obtemos
(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) =\boldsymbol{a}\,\langle 2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\rangle -\boldsymbol{b}\,\langle 2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle.
Agora calculamos os produtos escalares que aparecem:
\langle 2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\rangle =2\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle-\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\rangle =2\cdot4-5=8-5=3,
\langle 2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle =2\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}\rangle-\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle =2\cdot6-4=12-4=8.

Passo 5

Substituindo os escalares encontrados na expressão, temos
(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) =3\boldsymbol{a}-8\boldsymbol{b}.
Agora calculamos explicitamente 3\boldsymbol{a}-8\boldsymbol{b}:
3\boldsymbol{a} = 3(1,2,1)=(3,6,3),\qquad 8\boldsymbol{b}=8(2,1,0)=(16,8,0),
3\boldsymbol{a}-8\boldsymbol{b}=(3-16,\;6-8,\;3-0)=(-13,\,-2,\;3).
Portanto o resultado do primeiro item é (-13,-2,3).

Passo 6

Agora o segundo item. Relembrando os dados:
\|\boldsymbol{u}\|=\sqrt{5}, \|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{7}, \langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle=21.
Queremos \|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\|. Vou explicar a relação que liga produto vetorial, produto escalar e normas.

Passo 7

Fórmulas úteis e justificativa:
  • A norma do produto vetorial satisfaz
\|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\| = \|\boldsymbol{u}\|\,\|\boldsymbol{v}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \boldsymbol{u} e \boldsymbol{v}.
  • Usando \cos\theta = \dfrac{\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle}{\|\boldsymbol{u}\|\,\|\boldsymbol{v}\|} e a identidade \sin^2\theta=1-\cos^2\theta, podemos escrever uma fórmula prática sem precisar do ângulo:
\|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\|^2 = \|\boldsymbol{u}\|^2\|\boldsymbol{v}\|^2 - \langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle^2.
Essa identidade segue de manipular \|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\|^2=(\|\boldsymbol{u}\|\,\|\boldsymbol{v}\|\,\sin\theta)^2 e substituir \sin^2\theta.

Passo 8

Agora substituímos os números dados:
\|\boldsymbol{u}\|^2\|\boldsymbol{v}\|^2 = (\sqrt{5})^2(\sqrt{7})^2 = 5\cdot7 = 35,
\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle^2 = 21^2 = 441.
Então
\|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\|^2 = 35 - 441 = -406.
Mas a norma ao quadrado de um vetor é sempre não negativa; portanto obter -406 é impossível para vetores reais. Isso indica que os dados fornecidos são inconsistentes: eles violam a desigualdade de Cauchy–Schwarz
|\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle|\le \|\boldsymbol{u}\|\,\|\boldsymbol{v}\|,
pois 21 > \sqrt{5}\sqrt{7}=\sqrt{35}\approx5{,}92. Logo não existem vetores reais \boldsymbol{u},\boldsymbol{v} com as magnitudes e produto escalar fornecidos; por isso \|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\| não pode ser determinado como um número real a partir desses dados.

Resposta

(-13,-2,3)
Não existem vetores reais \boldsymbol{u},\boldsymbol{v} com \|\boldsymbol{u}\|=\sqrt{5}, \|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{7} e \langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle=21 (dados inconsistentes), portanto \|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\| não é definido nos reais.

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