Dados os vetores
, calcular
.
Se
calcule $|\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}|.
Se
Passo 1
Enunciado e dados (vou listar tudo claramente):
- Vetores dados:
-
- Pedido 1: calcular
. - Pedido 2: sendo
, e , calcular .
Passo 2
Primeiro vamos recolher produtos internos úteis entre
e
. Lembre que o produto escalar de dois vetores
e
é
Calculemos:
Passo 3
Usaremos a identidade vetorial chamada produto vetorial triplo (identidade de Lagrange):
Explicando cada termo:
são vetores quaisquer;
é o produto escalar; a identidade transforma um produto vetorial-aninhado num combinação linear dos vetores
e
. Essa identidade reduz bastante trabalho prático.
Passo 4
Aplicando a identidade com
,
,
, obtemos
Agora calculamos os produtos escalares que aparecem:
Passo 5
Substituindo os escalares encontrados na expressão, temos
Agora calculamos explicitamente
:
Portanto o resultado do primeiro item é
.
Passo 6
Agora o segundo item. Relembrando os dados:
,
,
.
Queremos . Vou explicar a relação que liga produto vetorial, produto escalar e normas.
Queremos
Passo 7
Fórmulas úteis e justificativa:
- A norma do produto vetorial satisfaz
onde
é o ângulo entre
e
.
- Usando
e a identidade , podemos escrever uma fórmula prática sem precisar do ângulo:
Essa identidade segue de manipular
e substituir
.
Passo 8
Agora substituímos os números dados:
Então
Mas a norma ao quadrado de um vetor é sempre não negativa; portanto obter
é impossível para vetores reais. Isso indica que os dados fornecidos são inconsistentes: eles violam a desigualdade de Cauchy–Schwarz
pois
. Logo não existem vetores reais
com as magnitudes e produto escalar fornecidos; por isso
não pode ser determinado como um número real a partir desses dados.
Resposta
Não existem vetores reais