Definição 5: O conjunto de todos os pontos ( x , y) no interior da circunferência de centro em (
) e raio r é chamado bola aberta e denotado por
:
Passo 1
O enunciado dá a definição da bola aberta centrada em
e de raio
:
O que devemos mostrar (a pergunta implícita que vou resolver) é: provar que essa bola aberta é um conjunto aberto; isto é, provar que para todo ponto da bola existe uma pequena bola centrada nesse ponto que permanece inteiramente dentro de
.
Informações relevantes dadas:
- Centro da bola:
. - Raio da bola:
. - Um ponto genérico qualquer dentro da bola:
tal que .
Passo 2
Primeiro, vou escrever de forma mais compacta a distância euclidiana entre pontos em
. Para dois pontos
e
definimos a norma/distância
Esta é a distância usual no plano e satisfaz, entre outras propriedades, a desigualdade triangular:
para quaisquer pontos
. Vou usar essa desigualdade com
,
um ponto qualquer e
.
Explicando a desigualdade triangular (intuição): a distância direta entre dois pontos nunca é maior que o caminho que passa por um ponto intermédio. É uma propriedade básica das distâncias euclidianas.
Passo 3
Escolha um ponto arbitrário
em
Pelo que foi dado, seja
Como
está na bola, temos
. Portanto a quantidade
é bem definida e positiva. Aqui expliquei cada símbolo:
-
é a distância do ponto até o centro . -
é a folga que sobra até o raio ; como , então .
Passo 4
Agora vou mostrar que a bola centrada em
de raio
está contida em
. Tomemos um ponto qualquer
que satisfaça
Pelo enunciado da desigualdade triangular, aplicando-a aos pontos
,
e
, obtemos
Substituindo os nomes já definidos, isso vira
Passo 5
Lembrando que
, substituímos na desigualdade do passo anterior:
Logo
, ou seja,
.
Isso mostra que qualquer ponto
com
pertence à bola original. Em outras palavras:
Passo 6
A dedução do passo anterior vale para qualquer ponto
escolhido em
. Para cada tal ponto encontramos um
(especificamente
) tal que a bola aberta centrada em
de raio
está totalmente contida em
.
Esta é exatamente a definição de conjunto aberto: cada ponto do conjunto possui uma vizinhança (uma bola) inteiramente contida no conjunto. Portanto concluímos que
é aberto.
Passo 7
Suponha
,
e
. Escolha o ponto
. Aqui
logo
. A bola centrada em
de raio
consiste de todos os pontos cuja distância até
é menor que
; qualquer um desses pontos tem distância até a origem menor que
, portanto pertence à bola original de raio
. Isso ilustra concretamente o argumento geral.
Resposta
A bola aberta
é um conjunto aberto.