Definição 5: O conjunto de todos os pontos ( x , y) no interior da circunferência de centro em ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ) e raio r é chamado bola aberta e denotado por \mathrm{B}\left(\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right), \mathrm{r}\right) :
\begin{aligned} B\left(\left(x_{0}, y_{0}\right), r\right) & =\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:\left|(x, y)-\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|<r\right\} \\\ & =\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<r\right\} \\\ & =\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}<r^{2}\right\} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a definição da bola aberta centrada em \left(x_{0},y_{0}\right) e de raio r:
B\!\left(\left(x_{0},y_{0}\right),r\right)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}<r\}.
O que devemos mostrar (a pergunta implícita que vou resolver) é: provar que essa bola aberta é um conjunto aberto; isto é, provar que para todo ponto da bola existe uma pequena bola centrada nesse ponto que permanece inteiramente dentro de B\!\left(\left(x_{0},y_{0}\right),r\right).
Informações relevantes dadas:
  • Centro da bola: \left(x_{0},y_{0}\right).
  • Raio da bola: r>0.
  • Um ponto genérico qualquer dentro da bola: (x,y) tal que \sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}<r.

Passo 2

Primeiro, vou escrever de forma mais compacta a distância euclidiana entre pontos em \mathbb{R}^{2}. Para dois pontos A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) definimos a norma/distância
\|A-B\|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}.
Esta é a distância usual no plano e satisfaz, entre outras propriedades, a desigualdade triangular:
\|A-C\|\le \|A-B\|+\|B-C\|
para quaisquer pontos A,B,C. Vou usar essa desigualdade com A=(x,y), B um ponto qualquer e C=(x_{0},y_{0}).
Explicando a desigualdade triangular (intuição): a distância direta entre dois pontos nunca é maior que o caminho que passa por um ponto intermédio. É uma propriedade básica das distâncias euclidianas.

Passo 3

Escolha um ponto arbitrário (x,y) em
B\!\left(\left(x_{0},y_{0}\right),r\right).
Pelo que foi dado, seja
d:=\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}.
Como (x,y) está na bola, temos d<r. Portanto a quantidade
\varepsilon := r-d
é bem definida e positiva. Aqui expliquei cada símbolo:
  • d é a distância do ponto (x,y) até o centro (x_{0},y_{0}).
  • \varepsilon é a folga que sobra até o raio r; como d<r, então \varepsilon>0.

Passo 4

Agora vou mostrar que a bola centrada em (x,y) de raio \varepsilon está contida em B\!\left(\left(x_{0},y_{0}\right),r\right). Tomemos um ponto qualquer (u,v) que satisfaça
\|(u,v)-(x,y)\|<\varepsilon.
Pelo enunciado da desigualdade triangular, aplicando-a aos pontos (u,v), (x,y) e (x_{0},y_{0}), obtemos
\|(u,v)-(x_{0},y_{0})\|\le \|(u,v)-(x,y)\|+\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|.
Substituindo os nomes já definidos, isso vira
\|(u,v)-(x_{0},y_{0})\| < \varepsilon + d.

Passo 5

Lembrando que \varepsilon=r-d, substituímos na desigualdade do passo anterior:
\|(u,v)-(x_{0},y_{0})\| < (r-d)+d = r.
Logo \|(u,v)-(x_{0},y_{0})\|<r, ou seja, (u,v)\in B\!\left(\left(x_{0},y_{0}\right),r\right).
Isso mostra que qualquer ponto (u,v) com \|(u,v)-(x,y)\|<\varepsilon pertence à bola original. Em outras palavras:
B\!\left((x,y),\varepsilon\right)\subseteq B\!\left(\left(x_{0},y_{0}\right),r\right).

Passo 6

A dedução do passo anterior vale para qualquer ponto (x,y) escolhido em B\!\left(\left(x_{0},y_{0}\right),r\right). Para cada tal ponto encontramos um \varepsilon>0 (especificamente \varepsilon=r-\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|) tal que a bola aberta centrada em (x,y) de raio \varepsilon está totalmente contida em B\!\left(\left(x_{0},y_{0}\right),r\right).
Esta é exatamente a definição de conjunto aberto: cada ponto do conjunto possui uma vizinhança (uma bola) inteiramente contida no conjunto. Portanto concluímos que B\!\left(\left(x_{0},y_{0}\right),r\right) é aberto.

Passo 7

Suponha x_{0}=0, y_{0}=0 e r=5. Escolha o ponto (x,y)=(3,0). Aqui
d=\|(3,0)-(0,0)\|=3<5,
logo \varepsilon=5-3=2. A bola centrada em (3,0) de raio 2 consiste de todos os pontos cuja distância até (3,0) é menor que 2; qualquer um desses pontos tem distância até a origem menor que 2+3=5, portanto pertence à bola original de raio 5. Isso ilustra concretamente o argumento geral.

Resposta

A bola aberta B\!\left(\left(x_{0},y_{0}\right),r\right) é um conjunto aberto.

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