• Definição 2: Dados os vetores u=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{\mathrm{n}}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{\mathrm{n}}\right), o produto escalar de u e v é o número real definido por \langle u, v\rangle=x_{1} \cdot y_{1}+x_{2} \cdot y_{2}+ \ldots+x_{\mathrm{n}} \cdot y_{\mathrm{n}}. (Podemos denotar u.v =\mathrm{uv} )

Passo 1

O enunciado dá a definição do produto escalar: dados os vetores u=\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right) e v=\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right), o produto escalar é
\langle u,v\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n}.
O que vamos fazer: entender exatamente o que essa soma significa componente a componente, ver propriedades importantes que permitem calcular e transformar expressões na prova, aprender interpretações geométricas (ângulo, ortogonalidade), e praticar com exemplos numéricos passo a passo para você conseguir aplicar isso em exercícios na hora da prova.

Passo 2

O que representam os símbolos da definição? Explicando cada parte devagar:
  • u=\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right) significa que u é um vetor com n componentes; cada x_{i} é o i-ésimo elemento de u.
  • v=\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right) é análogo, com componentes y_{i}.
  • O produto escalar \langle u,v\rangle é simplesmente multiplicar componente a componente e somar tudo: primeiro multiplica x_{1} por y_{1}, depois x_{2} por y_{2}, etc., e soma os resultados.
    Vou mostrar um exemplo concreto e detalhado para você ver o procedimento passo a passo.
Exemplo: u=(1,2,3) e v=(4,-1,2). Então
\langle u,v\rangle = 1\cdot 4 + 2\cdot(-1) + 3\cdot 2.
Calcule cada produto:
1\cdot 4 = 4,\qquad 2\cdot(-1) = -2,\qquad 3\cdot 2 = 6.
Agora some:
4 + (-2) + 6 = 8.
Portanto, \langle u,v\rangle = 8. Esse é exatamente o tipo de conta que aparece em prova: multiplica componente a componente e soma.

Passo 3

Propriedades algébricas essenciais (úteis na prova). Vou escrever cada propriedade e mostrar por quê ela vale, com argumento simples.
  1. Comutatividade:
\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle.
Porque x_{i}y_{i}=y_{i}x_{i} para cada i, então a soma dos produtos independe da ordem.
  1. Linearidade (distributividade) em cada argumento:
    Para vetores u,w e escalar \alpha,
\langle u+ w, v\rangle = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle,
\langle \alpha u, v\rangle = \alpha \langle u,v\rangle.
Demonstração curta: se u=(x_{i}) e w=(z_{i}) então u+w=(x_{i}+z_{i}) e
\langle u+w,v\rangle = \sum_{i=1}^{n} (x_{i}+z_{i})y_{i} = \sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} + \sum_{i=1}^{n} z_{i}y_{i} = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle.
E para escalares sai igual, puxando \alpha pra fora da soma.
  1. Produto com si mesmo dá tamanho quadrado (positividade):
\langle u,u\rangle = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} \ge 0,
e \langle u,u\rangle = 0 se e somente se u for o vetor nulo 0. Isso é óbvio porque soma de quadrados é não negativa, e só é zero quando todos os quadrados são zero, isto é, todos x_{i}=0.
Essas propriedades permitem manipular expressões com produto escalar com segurança em provas (trocar ordem, expandir somas, fatorar escalares etc.).

Passo 4

Interpretação geométrica (muito útil para entender o que o produto escalar “mede”). Defina a norma (comprimento) de um vetor:
\|u\| = \sqrt{\langle u,u\rangle} = \sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}.
A relação fundamental entre produto escalar e ângulo \theta entre u e v é
\langle u,v\rangle = \|u\|\,\|v\|\,\cos\theta.
Dessa fórmula segue que
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
Exemplo numérico usando o u e v do Passo 2: já temos \langle u,v\rangle = 8. Calcule as normas:
\|u\| = \sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14},
\|v\| = \sqrt{4^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}.
Então
\cos\theta = \frac{8}{\sqrt{14}\sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{294}}.
Se precisar do ângulo em graus ou radianos, calcula-se \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(8/\sqrt{294}\bigr), mas muitas vezes em prova só interessa se são ortogonais ou o cosseno.
Ortogonalidade: u e v são ortogonais (perpendiculares) se e somente se
\langle u,v\rangle = 0.
Isso é prático: para checar perpendicularidade basta calcular o produto escalar e ver se é zero.

Passo 5

Projeção de um vetor em outro (ferramenta que cai direto em exercícios):
A projeção de u sobre v (o componente de u na direção de v) é o vetor
\operatorname{proj}_{v}(u) = \frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.
Explicando: \langle u,v\rangle/\langle v,v\rangle é um número (escalar) que diz "quanto de v" existe em u. Se v for unitário ( \|v\|=1), a fórmula simplifica para \operatorname{proj}_{v}(u)=\langle u,v\rangle v.
Exemplo rápido com números (usar os mesmos u e v):
Primeiro calcule \langle v,v\rangle = \|v\|^{2} = 21. Já temos \langle u,v\rangle = 8. Então
\operatorname{proj}_{v}(u) = \frac{8}{21}\,v = \frac{8}{21}(4,-1,2) = \left(\frac{32}{21},-\frac{8}{21},\frac{16}{21}\right).
Isso dá o vetor componente de u na direção de v. Faça as frações na prova com calma, passo a passo como aqui.

Passo 6

Identidade útil para distâncias e somas de quadrados (frequente em demonstrações):
Para quaisquer vetores u,v,
\|u-v\|^{2} = \langle u-v, u-v\rangle = \langle u,u\rangle - 2\langle u,v\rangle + \langle v,v\rangle.
Derivação simples: expandir a soma usando linearidade. Isso é a versão vetorial do que em escalares é (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. Exemplo numérico com u=(1,2,3) e v=(4,-1,2):
Já temos \langle u,u\rangle = 14, \langle v,v\rangle = 21, \langle u,v\rangle = 8. Então
\|u-v\|^{2} = 14 - 2\cdot 8 + 21 = 14 -16 +21 = 19.
Logo \|u-v\|=\sqrt{19}. Saber essa identidade ajuda em problemas de minimização, checagem de ortogonalidade de restos em projeção, etc.

Passo 7

Representação matricial e casos práticos rápidos:
  • Se u e v são vetores coluna em \mathbb{R}^{n}, então \langle u,v\rangle = u^{T}v (produto linha por coluna). Essa escrita é útil se você trabalhar com matrizes na prova.
  • Produto escalar com base ortonormal: se \{e_{1},\dots,e_{n}\} é uma base ortonormal então os coeficientes de um vetor u nessa base são x_{i}=\langle u,e_{i}\rangle. Em provas que envolvem decomposição em componentes, usar base ortonormal simplifica muito.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (meio amigo, meio treinador):
  • Sempre faça os produtos componente a componente com calma; copie os x_{i} e y_{i} um abaixo do outro se isso evita erro.
  • Verifique sinais (positivo/negativo) em cada multiplicação.
  • Para checar ortogonalidade, calcule só \langle u,v\rangle; se der 0, acabou.
  • Quando precisar do ângulo, use a relação com as normas; se só quiser saber se o ângulo é agudo/obtuso, cheque o sinal de \langle u,v\rangle: positivo → agudo, zero → reto, negativo → obtuso.
  • Se surgir \operatorname{proj} em questão, use a fórmula direta e lembre de calcular \langle v,v\rangle antes de dividir.

Resposta

\langle u,v\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n}.
\|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}.
\langle u,v\rangle=\|u\|\,\|v\|\,\cos\theta com \cos\theta=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
\operatorname{proj}_{v}(u)=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.

Exercícios relacionados